Aloha :)
Wenn der Punkt \((6|7|1)\) in der Ebene liegen soll, muss es \(x,y\) geben, sodass Folgendes gilt:$$\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-2\\3\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\7\\1\end{array}\right)$$Das kann man noch etwas umformen:$$x\left(\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-2\\3\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\6\\0\end{array}\right)$$Das sind 3 Gleichungen für 2 Unbekannte. Wir berechnen nun \(x,y\) aus den ersten beiden Gleichngen und prüfen, ob die dritte Gleichung dadurch ebenfalls erfüllt wird. Falls ja liegt der Punkt in der Ebene, sonst nicht.
$$\left.\begin{array}{c}x-2y&=&5\\2x+3y&=&6\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{27}{7}\;\;;\;\;y=-\frac{4}{7}$$$$4\cdot x-y=4\cdot\frac{27}{7}+\frac{4}{7}=16\ne0$$
Der Punkt \((6|7|1)\) liegt nicht in der Ebene.
