Aufgabe:
Text erkannt:
Definiere die Vektoren \( v_{1}, v_{2} \in V_{4}(K) \) und \( z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in Z_{4}(K) \) durch
\( v_{1}:=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right), v_{2}:=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad \begin{array}{l} z_{1}:=\left(\begin{array}{llll} 2 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right), z_{2}:=\left(\begin{array}{llll} -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\right), \\ z_{3}:=\left(\begin{array}{llll} 3 & -4 & -1 & 2 \end{array}\right), z_{4}:=\left(\begin{array}{llll} 4 & -7 & 2 & 1 \end{array}\right) . \end{array} \)
Gegeben seien die Untervektorräume \( U:=L\left(\left\{v_{1}, v_{2}\right\}\right) \) von \( V_{4}(K) \) und \( X:=L\left(\left\{z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}\right\}\right) \) von \( Z_{4}(K)=\left(V_{4}(K)\right)^{*} \)
(a) Berechnen Sie die Dimensionen von \( \operatorname{Ann}(U) \) und \( \operatorname{Null}(X) \). Hinweis: Satz 8.10.
(b) Zeigen Sie \( \operatorname{Ann}(U)=X \) und \( \operatorname{Null}(X)=U \).
Problem/Ansatz:
also zur a) die Dim von Ann und Null sind ja jeweils die gleichen der Unterraumvektoren U und X, also zumindest hab ich das in der Vorlesung so verstanden. Also wäre Ann U = 4 und Null X = auch 4
bei der b) da hat der in der Vorlesung gesagt "das zeige ich jetzt nicht", also die Herleitung, aber zeigte, dass:
Ann(Null(X))=X ist und dass Null(Ann(U))=U
würde ihr es bei der b) allgemein herleiten, dass Ann(U)=X ist usw. oder mit den gegeben Zahlen, bzw vektoren. Denn ich persöhnlich würde gerne beides gesehen haben.
Aber auch so schwer fällt es mir schwer die b) also richtig zu sehen, daher das auch zu beweisen, kann mir da jemand helfen?
