Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Äquivalenz

Question

Aufgabe:

Es seien c ∈ ℝ, x_ 0 ∈ D ⊆ ℝ und f : D → ℝ eine Funktion. Zeigen Sie die
Gültigkeit der folgenden Aquivalenz:

\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x) = c\Longleftrightarrow (f(x_0) = c \text{ ∧} \lim\limits_{x\to x_0+} f(x) = c \text{ ∧} \lim\limits_{x\to x_0-}f(x) = c)\)
Problem/Ansatz:

Mir ist klar, dass die Äquivalenz wahr ist und es scheint auch irgendwie intuitiv zu sein, aber weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Comments

Diese Äquivalenz ist nur dann richtig, wenn eine spezielle - meiner Erfahrung nach unübliche, vergleiche auch Wikipedia - Definition des Funktionsgrenzwertes zugrundegelegt wird. Daher die Frage: Wie habt Ihr

$$\lim_{x \to x_0}f(x)$$

definiert.

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Sei D ⊆ ℝ, f: D → ℝ  eine Flut und x₀ ∈ ℝ. Man sagt: f konvergiert für x → x₀ gegen c ∈ ℝ ∪ {±∞}, falls gilt: Für jede Folge (x_n) ⊆ D mit x_n → x₀ gilt f(x_n) → c. Dabei wird vorausgesetzt, dass mindestens 1 Folge (x_n) ⊆ D mit x_n → x₀ existiert.
c heißt dann der Grenzwert von f in x₀

Schreibweise: \(\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = c\) oder: f(x) → c für x → x₀

Answer 1

Ich versuche es mal mit einer Antwort.

Die Fälle auf der rechten Seite sind jeweils Sonderfälle der allgemeinen Definition, und zwar für den Fall \(x_n=x_0\), \(x_n>x_0\),\(x_n<x_0\) - jeweils für alle \(n \in \N\). Daher ist die Schlussfolgerung "links nach rechts" klar.

Wenn jetzt umgekehrt eine Folge \(x_n\) in D gegeben ist mit \(x_n \to x_0\), dann Teilen wir \(\N\) in drei paarweise disjunkte Teilmengen auf, M,R,L, die jeweils die natürlichen Zahlen n enthalten mit \(x_n=x_0\), \(x_n>x_0\) beziehungsweise \(x_n<x_0\). Aufgrund der Voraussetzung gilt:

(1) Wenn R unendlich ist, so folgt \(f(x_n) \to c\) für \(n \in R, n \to \infty\)

(2) Wenn L unendlich ist, so folgt \(f(x_n) \to c\) für \(n \in L, n \to \infty\)

Wenn ein \(\epsilon>0\) gegeben ist, dann existiert ein \(\epsilon\)-Schwellenindex \(N_R\) im Falle (1) und ein \(\epsilon\)-Schwellenindex \(N_L\) im Falle (2). Für \(n \geq \max\{N_R,N_L\}\) oder \(n \geq N_R\) oder \(n \geq N_L\) gilt dann \(|f(x_n)-c| <\epsilon\)

Comments

Ich verstehe da ehrlich gesagt gar nichts von, bedanke mich aber trotzdem für den Aufwand

Answer 2

Die Aussage ist schlichtweg falsch.

Comments

Auch mit der Definition, die ich als Kommentar gepostet habe ?

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@ ABC Kannst Du das vielleicht erläutern?