Riemann Integral und Zerlegungssumme

Question

Berechnen Sie das bestimmte Integral \( \int\limits_{0}^{a} \sqrt{x}\) dx  für a > 0 direkt mittels Zerlegungssummen.

Bitte Hilfe.

Answer 1

Wähle eine Zerlegung \(x_0,x_1,\dots,x_n\) des Intervalls \([0,a]\) in \(n\) Teile mit \(x_k=a\cdot\frac{k^2}{n^2}\) für \(k=0,\dots,n\). Dann gilt für die Untersummen$$U_n=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot f(x_{k-1})$$$$\quad=\sum_{k=1}^n\left(a\cdot\frac{k^2}{n^2}-a\cdot\frac{(k-1)^2}{n^2}\right)\cdot\sqrt a\frac{k-1}n$$$$\quad=\frac{a\sqrt a}{n^3}\sum_{k=1}^n(2k-1)(k-1)$$$$\quad=\frac{a\sqrt a}{n^3}\frac{(n-1)\cdot n\cdot(4n+1)}6$$$$\quad=a\sqrt a\frac{(n-1)(4n+1)}{6n^2}\xrightarrow{\;n\to\infty\;}\tfrac23a\sqrt a.$$Die Rechnung für die Obersummen \(\displaystyle O_n=\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})\cdot f(x_k)\) verläuft analog.

Comments

in der dritten Zeile wie und was hast du rausgeworfen?

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Die Faktoren \(a,\sqrt a,\frac1{n^2}\) und \(\frac1n\) hängen nicht von der Laufvariablen \(k\) ab und können ausgeklammert, also vor das Summensymbol gezogen werden. Der Rest wurde zusammengefasst.