Bestimme die Gleichungen der Parallelen zur Geraden

Question

Aufgabe:

Bestimme die Gleichungen der Parallelen zur Geraden  g: 2x - y + 2 = 0, deren Abstände von der Geraden g die Maßzahl \( \sqrt{5} \) haben.

Problem/Ansatz:

Ich habe als erstes den \( \vec{n} \) bestimmt, also \( \vec{n} \) =\( \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \) und \( \vec{|n|} \) = \( \sqrt{5} \)

Wie gehe ich jetzt weiter voran ?

Muss ich jetzt den Nullvektor bestimmen und dann mit der HNF weiter machen ?

Komme da irgendwie nicht auf einen grünen Zweig.

Answer 1

Suche Dir eine beliebigen Punkt auf der Geraden - z.B.: \(P=(0|2)\). Und wenn der Abstand der neuen Geraden genau so weit ist, wie der Normalenvektor lang ist, so addiere (bzw. subtrahiere) zu/von \(P\) einfach \(\vec{n}\).

Du erhältst einen neuen Punkt (bzw. zwei neue Punkte)$$Q = P + \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}  \\ Q' = P + \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$$Die Gleichungen für die gesuchten Geraden \(f\) und \(f'\) haben den gleichen Normalenvektor und das konstante Glied berechnet sich aus:$$f: \space \vec{n} \vec{x} - \vec{n} \cdot Q = 0 \implies 2x-y - 3 = 0\\ f': \space \vec{n} \vec{x} - \vec{n} \cdot Q' = 0 \implies 2x-y + 7 = 0 $$Gruß Werner

Comments

Danke für die ausführliche erklärung

Answer 2

Hallo

1. du musst durch |n| teilen, dann hast du den Abstand d zu 0,  mit d=ax+by dann einmal √5 zu d addieren, einmal subtrahieren dann hast du die 2 parallelen Geraden.

Gruß lul