Gegenseitige Lage von Geraden in R^3. Abstand, Schnittpunkt, und Schnittwinkel zu berechnen

Question

Aufgabe:

Welche Lage haben g1 und g2 zueinander ?  Ich soll gegebenfalls Abstand, Schnittpunkt und Schnittwinkel rechnen. Könnte bitte mir jemand helfen ? Vielen Dank

Problem/Ansatz:

Answer 1

zunächst prüfst du, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind, denn dann wären die Geraden parallel. Das ist hier nicht der Fall. Den Schnittpunkt ermittelst du, indem du die Gleichungen gleichsetzt und durch Lösen des daraus entstehenden Gleichungssystems  λ bestimmst. Für den Schnittwinkel zweier Geraden gilt

$$cos α= \frac{|\vec{u}°\vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$$

Gruß, Silvia

Comments

Hallo Silvia

Woran erkennst du ob die Geraden parallel sind. Warum ist es nicht der Fall hier. Den Schnittpunkt ermittelst du, indem du die Gleichungen gleichsetzt und durch Lösen des daraus entstehenden Gleichungssystems  λ bestimmst.

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Hallo Alpay,

ich prüfe, ob die Richtungsvektoren ein Vielfaches voneinander sind, also ob es eine Zahl k gibt, die diese Gleichung erfüllt:

$$\vec{u}=k\cdot\vec{v}$$

Bei dieser Aufgabe

$$\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\4 \end{pmatrix}$$

4 = 2k ⇔ k = 2

2 = -2k ⇔ k = -1

Das ist schon ein Widerspruch, also sind die Geraden nicht parallel.

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Ok vielen Dank aber wie kommst auf 4=-2k

2=-2k

Und due Zahlen auf der rechten Seite genauso

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4 = -2k war falsch, ich habe das korrigiert.

2 = -2k ergibt sich aus der zweiten Reihe der Vektoren

2 = 4k wäre die dritte Gleichung, die ich mir aber gespart habe, weil schon nach den ersten beiden ein Widerspruch auftrat.

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Wie vestehe nicht ganz also das erste habe ich verstanden

4 = 2k.        k= 2 hast du einfach mal k genommen

2= -2k.       wie kommst du auf k=-1

Die dritte Gleichung lautet 2=4k k= 4 oder?

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4 = 2k - auf beiden Seiten durch 2 teilen ergibt k = 2

2 = -2k - auf beiden Seiten durch -2 teilen ergibt k = -1

2 = 4k - auf beiden Seiten durch 4 teilen ergibt k = \( \frac{2}{4} \) =\( \frac{1}{2} \)

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Vielen lieben Dank Silvia. Wie setze ich im Schnittwinkel die Zahlen ein ?

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Du setzt die Richtungsvektoren in die Formel für den Schnittwinkel ein:

$$cos α=\frac{|\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}°\begin{pmatrix} 2\\-2\\4 \end{pmatrix}|}{|\begin{pmatrix} 4\\2\\2 \end{pmatrix}|\cdot |\begin{pmatrix} 2\\-2\\4 \end{pmatrix}|}$$

und löst nach alpha auf.

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Wie gebe ich das in den Taschenrechner ein ist schwer oder? Wie rechne ich es am besten aus den Schnittwinkel ? Danke liebe Sylvia für deine Unterstützung

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Hallo Alpay,

Wie gebe ich das in den Taschenrechner ein ... ?

Am besten gar nicht!

Das ist mir bei früheren Fragen von Dir schon aufgefallen - Du stützt Dich zu sehr auf den TR und auf die Rechenwege ab. Du solltest Dich um das Verständnis bemühen, dann hast Du es auch leichter.

Das obige kannst Du im Kopf ausrechnen - das Ergebnis ist \(\alpha =60°\)!

Das geht wie folgt: Im Zähler steht ein Skalarprodukt zweier Vektoren. So schön, wie es Silvia Dir hingeschrieben hat ... kannst Du rechnen:$$\begin{array}{rcrcr} 4 & \cdot & 2 &= & 8 \\ 2& \cdot & -2 &= & -4 \\ 2 & \cdot & 4 &=& 8 \\ \hline &&&& 12\end{array}$$Nur das Ergebnis ist größer als 10 - das sollte ab der 2.Klasse zu machen sein.

Der Nenner besteht aus dem Produkt von zwei Beträgen. Die Beträge sind die Wurzeln der Quadratesummen. Dabei ist es egal, welches Vorzeichen die Koordinaten haben und die Reihenfolge ist auch egal. Nun kommen in beiden Vektoren aber nur die Zahlen \(2, \, 2, \, 4\) vor. Folglich steht da$$\left(\sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2}\right)^2 = 2^2 + 2^2 + 4^2 = 24$$Jetzt noch Zähler durch Nenner teilen - auch das sollte ebenso seit der Grundschule zu machen sein - gibt dann:$$\cos \alpha = 12 \div 24 = 0,5$$Nun wird es ein bisschen schwieriger. Was ist der Kosinus? Dazu werfen wir einen Blick auf den Einheitskreis:

Der Kosinus ist die Projektion des Radius des Einheitsreises auf die Horizontale. Oder eben auch Ankathete (\(|OM|\) rot) zu Hypotenuse (den Radius \(|OC|=1\)). Wenn diese rote Strecke \(|OM|=0,5\) ist, dann liegt der Endpunkt \(M\) genau in der Mitte zwischen \(O\) und \(B\). D.h. das Dreieck \(\triangle OMC\) ist gespiegelt identisch zum Dreieck \(\triangle BMC\). Da \(|OB|\) und \(|OC|\) aber \(=1\) sind und somit auch \(|CB|=|OC|=1\) ist das Dreieck \(\triangle OBC\) ein gleichseitiges mit drei gleichen Winkeln a \(60°\).

Der blaue Winkel ist \(60°\) und der Kosinus von \(60°\) ist \(1/2\). $$\cos 60° = \frac 12$$Mit Sinus und Kosinus ist der Einheitskreis ein Muss. Dann brauchst Du bei mehr als der Hälfte Deiner trigonometrischen Aufgaben keinen TR mehr!

Gruß Werner

Answer 2

Gehe Schritt für Schritt vor. Zu jedem Stichwort findest du einges im Internet.

Schnittpunkt: g₁=g₂ Komponenteweise aufschreiben. Das ergibt 3 Gleichungen mit nur zwei Unbekannten λ₁ und λ₂. Aus zwei Gleichungen die Lösungen für λ₁ und λ₂ bestimmen und in die dritte einsetzen. Nur wenn dabei Gültiges entsteht, gibt es einen Schnittpunkt. Diesen findest du dann z.B., indem du λ₁ im g₁ einsetzt.

Schittwinkel: Nur, falls es einen Schittpunkt gibt. Dann den Winkel α zwischen den beiden Richtungsvektoren a und b bestimmen.cos(α)=a·b/(|a|·|b|).

Abstand: Nur, falls es keinen Schittpunkt gibt. Ein möglicher Lösungsweg geht so: Formuliere einen allgemeineinen Punkt auf g₁ und ebenso einen Punkt auf g₂. Die Abstandsformel für diese beiden Punkte enthält λ₁ und λ₂. Wähle λ₁ als Variable und λ₂ als Parameter. Bestimme die Ortslinie aller Tiefpunkte.Bestimme den Tiefpunkt dieser Ortslinie.

Comments

Hallo Roland

Danke für die Rückmeldung. Wie muss ich weiter vorgehen im Rechnen ?

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Schnittpunkt: Ich nenne λ₁ = x und λ₂ = y.

2+4x=3+2y

2+2x=1-2y

1+2x=4+4y

Aus den ersten beiden Gleichunge folgt x=0 und y=-1/2. Beides in die dritte eingesetzt ergibt nichts Gültiges. Die Geraden schneiden sich nicht. Also:

Abstand (neue Möglichkeit): Jede Gerade mit dem Richtungsvektor der anderen zu einer Ebene erganzen. Dann einen Punkt auf der einen Ebene festlegen und dessen Abstand von der anderen Ebene bestimmen.

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Roland könntest du für mich bitte wirklich kommt vom Herzen ich verstehe die ganze Aufgabe nicht wie ich es lösen sollte am besten. Ich verstehe deine Erklärungen aber wenn es in das Rechnen geht wirds mir nicht klar.

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Hallo Roland,

könntest du es für mich bitte auf dem papier machen so dass ich es am besten verstehe.

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Schnittpunkt: Ich nenne λ₁ = x und λ₂ = y.

(1) 2+4x=3+2y

(2) 2+2x=1-2y

(3) 1+2x=4+4y

_____________

(1)+(2) 4+6x=4

                6x=0

                  x=0 in (1) einsetzen

2=3+2y

-1=2y

y=-1/2

____________

x=0 und y=1/2 in (3) einsetzen

1+0 = 4+2.  Das ist ungültig. Also gibt es keinen Schnittpunkt.

_________________

Abstand: Jede Gerade mit dem Richtungsvektor der anderen zu einer Ebene erganzen. Weiteres findest du unter dem Suchwort "Abstand zweier Geraden" im Internet.

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Also muss ich dann nach dem Abstand zweier Geraden schauen

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Kurze Frage Roland muss es nicht 1+2x=4+4y also anstatt 4 eine 3 sein

1+2x = 3+3y

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Wie kommst du auf 2=3+2y

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Wo steht bei dir dass 1+0=4+2 ist

Muss es nicht 1+0 = 3x+2 sein?

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Kopiere bitte die Passagen in meinem Text und hänge deine Frage daran.

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Ich verstehe es net ganz also wie meinst du es

muss es nicht 1+2x=4+4y also anstatt 4 eine 3 sein


1+2x = 3+3y

Wie kommst du auf 2=3+2y

Wo steht bei dir dass 1+0=4+2 ist

Muss es nicht 1+0 = 3x+2 sein?

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Hättest du vielleicht noch einen Rechenweg zum Abstand ?

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Dieser Austausch ist aus meiner Sicht beendet. Du verstehst nicht, was ich schreibe und ich verstehe nicht, was du schreibst.

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Kurze Frage Roland muss es nicht 1+2x=4+4y also anstatt 4 eine 3 sein

Wenn Du beide Geraden gleichsetzt um den Schnittpunkt zu bestimmen, so erhältst Du:

$$\begin{aligned} g_1&=g_2 \\ \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + x \cdot \begin{pmatrix}4\\ 2\\ 2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}3\\ 1\\ \colorbox{#ffff44}{3}\end{pmatrix} + y\cdot \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 4\end{pmatrix} \\ \text{bzw.:} \\ 2+4x &= 3+2y \\ 2+2x &= 1 - 2y \\ 1+2x &= \colorbox{#ffff44}{3} + 4y & (\text{Glg.}3)\end{aligned}$$Ja - in der letzten Zeile muss dort eine 3 stehen. Aus den ersten beiden Gleichungen folgt nun$$\begin{aligned}  2+4x &= 3+2y &\left| -2y - 2\right. \\ 2+2x &= 1 - 2y &\left| +2y - 2 \right. \\ \text{und weiter:} \\ 4x - 2y &= 1 & (\text{Glg.1b})\\ 2x +2y &= -1 \\ \text{beide addieren:} \\ 6x &= 0 \implies x=0 \end{aligned}$$Dieses Ergebnis \(x=0\)  in die erste einsetzen (Glg.1b), gibt:$$\begin{aligned}  4\cdot 0 - 2y &= 1 & \left| \div (-2)\right. \\ y&= -\frac 12\end{aligned}$$Und nun \(x=0\) und \(y=-1/2\) noch in die letzte Gleichung (Glg.3) einsetzen. Nur wenn diese auch erfüllt ist, existiert ein Schnittpunkt:$$\begin{aligned} 1 + 2\cdot 0 &= 3 + 4\cdot \left( -\frac 12\right) \\ 1&= 3 - 2 \\ 1&=1\end{aligned}$$passt also. Es existiert ein Schnittpunkt \(\vec{s}\). Dieser kann berechnet werden, indem man eines der Ergebnisse (z.B.: \(x=0\)) in die zugehörige Geradengleichungen einsetzt:$$\vec{s} = g_1(x=0) =  \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 1\end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix}4\\ 2\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$$ Klick mal hier, dann kannst Du Dir die Geraden ansehen.

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Danke Werner. Also der werner hat mein Problem verstanden Roland.

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Werner ist sicher intelligenter als ich (lies mal mein Profil).

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Das hat nichts damit zu tun ob jemand intelligent ist ich habe es gelesen aber intelligent kann man nicht vergleichen wenn man das thema nicht versteht deswegen brauchen menschen die es langsam verstehen auch länger beispielsweise mich

Answer 3

Hallo

 bring die Geraden in die hessische Normalform,  falls sie sich schneiden ist der Schnittwinkel = Winkel zwischen den normalen.

Lage zueinander: Schnittpunkt bestimmen, wenn es ihn gibt, sonst sind sie windschief, dann den Abstand wie üblich, was habt ihr denn bisher  dazu gemacht?

Gruß lul