Bestimmen Sie die Entwicklungspunkte und die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen.
\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-2)^n}{n!}(2x-4)^n} \)
Die Musterlösung sagt:
= \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-2)^n}{n!}2^n(x-2)^n} \) =\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(-4)^n}{n!}(x-2)^n} \)
\( \lim\limits_{n\to\infty} | \frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(-4)^n} |\) =\( \lim\limits_{x\to\infty} |\frac{-4}{n+1}|\) = 0
Folgerung: r = \( \infty\)
Meine Fragen
1. Muss man die Reihe nicht auf Index Null bringen? Oder ist es nur von Bedeutung das die Reihe die Form \( a_n (x-x_0)^n\) hat ?
2. Ich dachte um den Konvergenzradius zu berechnen, dreht man das Quotientenkriterium einfach um also
\( \lim\limits_{n\to\infty} | \frac{a_{n+1}}{a_n} | \). Warum steht in der Musterlösung das normale Quotientenkriterium und wieso folgert er, dass der Konvergenzradius unendlich ist und nicht gleich 0 ?
