Frage zu komplexen Potenzreihen, deren Koeffizienten beschränkt sind.

Question

Sei (a_n)_n∈ℕ  eine folge komplexer Zahlen mit |a_n| ≤ M für alle n∈ℕ . Zeigen Sie:

a) Für jedes z ∈ ℂ mit |z| < 1 konvergiert die Reihe    f(z) := _n=1∑^∞ a_nz^n

b) Ist a₁ ≠ 0, so gilt f(z) ≠ 0 für alle z ∈ ℂ mit 0 < |z| < ( |a₁| / 2M )

Answer 1

Zu a)
Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzradius.

Den Konvergenzradius kannst du z.b. mit dem Wurzelkriterium bestimmen :
lim sup(n-> unendlich )   von ^n√ (a_n )

Da a_n  durch M beschränkt ist :

lim sup(n-> unendlich )   von ^n√ (a_n ) = lim sup(n-> unendlich ) von ^n√ (M) = 1

Also gilt für |z| < 1 konvergiert die Reihe. (Den Rand muss man nicht überprüfen, da hier nur < gefordert ist und nicht <= )

Ich stehe bei b leider auch noch auf dem Schlauch