Aufgabe (DGL Anfangswertprobleme - Randwertprobleme):
Die DGL 2-ter Ordnung \( y^{\prime \prime}=y^{\prime}+1 \) hat die allgemeine Lösung
\( y=C_{1} \cdot e^{x}-x+C_{2} \)
a) Überprüfen Sie die Lösung durch Einsetzen in die DGL.
b) Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems \( y^{\prime \prime}=y^{\prime}+1, y(0)=0, ~ y^{\prime}(0)=1 ? \)
c) Wie lautet die Lösung des Randwertproblems \( y^{\prime \prime}=y^{\prime}+1, y(0)=0, ~ y(1)=0 \) ?
Ansatz/Problem:
Meine Rechnung:
\( y^{\prime \prime}=y^{\prime}+1 \)
a)
\( y=c_{1} \cdot e^{x}-x+c_{2} \)
\( \begin{array}{l} y^{\prime}=c_{1} \cdot e^{x}-1+c_{2} \\ y^{\prime \prime}=c_{1} \cdot e^{x}+c_{2} \end{array} \)
b)
\( y^{\prime \prime}=y^{\prime}+1, y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \)
\( \begin{aligned} \rightarrow 0 &=c_{1} \cdot e^{0}-0+c_{2} \\ 0 &=c_{1}+c_{2} ? \end{aligned} \)
\( \rightarrow 1 =c_{1} \cdot e^{1}-1+c_{2} \)
c) ?
