Question

Ermitteln Sie die Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung

y" + 2y' − 3y = 0

mit Anfangswerten y(0) = 1 und y'(0) = 1/2
.

kann jemand erklären, wie man dieses Problem löst?

Answer 1

Hallo,

Ansatz: y=e^(λx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

->Charakteristische Gleichung:

λ^2 +2λ -3=0 mittels pq´-Formel z.B.

λ₁=1

λ₂= -3

Lösung: y= C₁e^(-3x) +C₂ e^(x)

->die Lösung 1Mal ableiten

y' = -3 C₁e^(-3x) +C₂ e^(x)

die beiden AWB in die Lösung und 1.Ableitung  einsetzen.

------>2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

A: y(0)= 1:      1 =C₁+C₂

B:y'(0)= 1/2 :  1/2=- 3C₁+C₂

--------------------------------------

A-B: 1/2 =4C₁ ; C₁= 1/8; C₂=7/8

Lösung:

y= e^(-3x)/8 +(7e^x)/8