Bestimmte Integral mit der Substitutionsregel

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie mit Hilfe der Substitutionsregel das bestimmte Integral:

\( \int\limits_{1}^{e} \) \( \frac{(ln(x^3))^2}{x} \) *dx

Problem/Ansatz:

Ich habe erstmal mit das Integral umgeschrieben:

3*\( \int\limits_{1}^{e} \) \( \frac{ln^2(x)}{x} \) *dx

Danach habe ich z und dx berechnet:

z=ln^2(x)

dx=dz*\( \frac{x}{2ln(x)} \)

Am Ende habe ich dann folgendes raus:

3*\( \int\limits_{ln^2(1)}^{ln^2(e)} \) \( \frac{z}{2ln(x)} \) *dz

Kann mir jemand weiterhelfen?

Comments

Hi,

es ist (ln(x^3))^2 = 9(ln(x))^2.

Achte auf das Quadrat.

Ansonsten probier mal u = ln(x).

Deine Substitution macht ja so keinen Sinn, wenn noch beide Variablen mit von der Partie sind ;).

Kommst Du damit weiter?

Grüße

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Ich habe dann mit z=ln(x)

9*\( \int\limits_{ln(1)}^{ln(e)} \) \( z^{2} \) *dz

Wäre die Stammfunktion dann:

\( \frac{9}{3} \) * \( z^{3} \)

Vielen dank nochmal für die Hilfe

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Das sieht sehr gut aus! :)

Jetzt die Grenzen einsetzen...

oder Du sparst Dir das Umrechnen der Grenzen (Nächstes Mal) und resubstituierst. Was Dir lieber ist ;).

Answer 1

Du kannst auch z= ln(x^3) substutuieren

 und bekommst dann

=1/3 ∫ z^2 dz

=1/3 * z^3/3 +C

=1/9  z^3+C

=1/9 (ln(x^3)) +C

dann noch die Grenzen einsetzen.

Answer 2

besser:

(ln(x^3))^2=(3ln(x))^2=9ln^2(x)

Den Faktor 9 vor das Integral ziehen,

damit bleibt ln^2(x)/x zu integrieren. Substituiere nun ln(x)=z