Falkultät. Herleitung von n! / (n-k)!

Question

Ich möchte gerne \( \frac{n!}{(n-k)!} \) hereleiten.

Mein Ansatz:

n * (n-1) *(n-2) *.... *

Ich weiß nicht wie ich es jetzt oben allgmein Fassen kann, ich habe gelsen man kann (n-(n-1)) schreiben wie kommt man drauf? Anschließend erweitert man es um1 ?!

Aufjedenfall wäre es sehr cool, wenn jemand mir die Formel kurz herleiten könnte damit ich es nachvollziehen kann. Die Interentseiten, sind so schwammig.

Ich würde mioch sehr freuen, wenn du mir Helfen könntest.

Comments

Was genau willst du denn da herleiten?

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ja ich möchte die Formel n! / (n−k)! herleiten

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Das ist aber nur ein term und keine Formel! Da fehlt also noch etwas.

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Was fehlt genau=====

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Was ist n, was ist k und in welcher Beziehung stehen die beiden zueinander?

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Vielleicht ist es so gemeint:$$\frac{n!}{(n-k)!}=\frac{\cancel{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-k)}\cdot(n-k+1)\cdot\ldots\cdot n}{\cancel{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-k)}}=(n-k+1)\cdot\ldots\cdot n.$$

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Ich will nur wissen wie man auf diesen Term kommt mehr nicht

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Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

Beachtet man die Reihenfolge nicht, so gibt es (n über k) =n! / [(n-k)! * k! ] Möglichkeiten. Das hast du in deiner letzten Frage erfahren. Nun kannst du aber die k Kugeln in k! versch. Reihenfolgen anordnen.

Also gibt es insgesamt (n über k) * k!

=n!/(n-k)! Möglichkeiten.

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Vom Duplikat:

Titel: Herleitung Unrnenmodell ohne zurücklegen mir Reihenfolge

Stichworte: urne,kugel,stochastik

Wie in der Überschricht schon erwähnt ich möchte das Urnenmodell ohne zurücklegen mit Reihenfolge herleiten:

n *(n-1) * (n-2) * ... * (n-k+1) = n *( n-1 ) * (n-2) * ... * ( n-k+1)

Erweiterung: (n-k)! / (n-k)! = 1

n *( n-1) * (n-2) *... * (n-k+1) = n ( n-1) * ( n -2) * ... * (n-k+1)  * (n-k)! / (n-k)!

 = n! / (n-k)!

ZU dieser Herleitung hätte ich Fragen:

-> warum erweitert man icht auf beiden Seiten nicht? ich versteh nicht warum man das erweitert genau mit (n-k)!?

Es wäre toll wenn einer mir diese Herleitung ausführlich erklären könnte..

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Rel:  606885

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das ist mir nicht schlüssig

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Dann frag dort nach!

Answer 1

Ok. Sagen wir bei einem Pferderennen starten 10 Pferde und du möchtest die Möglichkeiten bestimmen wie die ersten 3 Pferde ins Ziel laufen könnten.

Für das erste Pferd gibt es 10 Möglichkeiten, für das zweite noch 9 Möglichkeiten und für das dritte nur noch 8 Möglichkeiten.

Also

10 * 9 * 8

Da dies Formelmäßig nicht so schön aussieht erweitert man das ganze mit 7 bzw. (10 - 3) Fakultät und erhält

10 * 9 * 8 * 7! / (10 - 3)!

Im Zähler kann man dann auch gleich 10 Fakultät schreiben

10! / (10 - 3)!

Eigentlich schreibst du das jetzt nur algemeiner mit n Pferden auf wobei du dich für die Möglichkeiten interessierst wie die ersten k Pferde davon durchs Ziel laufen können.

Also fürs erste Pferd n Möglichkeiten

Fürs zweite Pferd noch n - 1 Möglichkeiten

Fürs dritte Pferd noch n - 2 Möglichkeiten

und fürs k-te Pferd noch n - k + 1 Möglichkeiten

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1)

Nur erweitert man das mit (n - k)! und erhält

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1) * (n - k)! / (n - k)!

Im Zähler steht dann n Fakultät

n! / (n - k)!

Comments

Danke für die tolle herleitung!

Nur erweitert man das mit (n - k)! und erhält

n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - k + 1) * (n - k)! / (n - k)!

Im Zähler steht dann n Fakultät

n! / (n - k)!

Eine Sache habe ich nicht verstanden, wenn du mit (n-k)! erweiterst kürzen sie sich nicht? Dann hat man doch nur n!

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Hm. Schau dir das noch mal mit den Zahlenwerten an

Da dies Formelmäßig nicht so schön aussieht erweitert man das ganze mit 7 bzw. (10 - 3) Fakultät und erhält

10 * 9 * 8 * 7! / (10 - 3)!

Im Zähler kann man dann auch gleich 10 Fakultät schreiben

10! / (10 - 3)!