Ax = 0 - Hilfe, Ich kriege eine andere Lösung als die Musterlösung.

Question

Aufgabe:

$$ \text { Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen } A x = 0 \text { für } x \in \mathbb { R } ^ { 3 } $$

$$ A = \left( \begin{array} { c c c } { 6 } & { 3 } & { - 9 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 3 } \\ { - 4 } & { - 2 } & { 6 } \end{array} \right) $$

Problem/Ansatz:

Nach Gauss erhalte ich: 

2x1 + x2 -3x3 = 0 

x2 und x3 sind freie Variablen und so kriege ich die Lösung:

L = { x2*\( \begin{pmatrix} 1/2\\1\\0 \end{pmatrix} \) + x3*\( \begin{pmatrix} -3/2\\0\\1 \end{pmatrix} \) wobei x2, x3 in ℝ . }

Lösung gem. Buch:

$$ \left( \begin{array} { c c c } { 6 } & { 3 } & { - 9 } \\ { 2 } & { 1 } & { - 3 } \\ { - 4 } & { - 2 } & { 6 } \end{array} \right) : L = \left\{ \lambda \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) + \mu \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right) | \lambda , \mu \in \mathbb { R } \right\} $$


Frage: 

(1) Wieso kriege ich nicht die Form wie in der Lösung ?
(2) Ist meien Lösung trotzdem auch richtig ?

Answer 1

x2 und x3 sind freie Variablen und so kriege ich die Lösung:

aus der Gleichung gibt es dann 2x1 = -x2 + 3x3

                         ==>  x1 = -x2 / 2  + 3 / 2 x3

Also Lösungvektoren (  -x2 / 2  + 3 / 2 x3  ; x2 ; x3 )

                    = x2 * ( -1/2 ; 1 ; 0) + x3 * ( 3/2 ; 0 ; 1 )

Da waren bei dir nur ein paar Vorzeichen falsch.

Und wenn du für x2 und x3 jeweils 1 einsetzt, bekommst du

(1 ; 1 ; 1 )  und wenn du  x2=3 und x3=1 setzt ( 0 ; 3 ; 1) .

Also sind das auch zwei mögliche Basisvektoren.

Comments

Okay aber wenn bei ihm die Lösungsmenge explizit so hingeschrieben steht, frage ich mich wie er darauf gekommen ist. 

Wenn ich in meiner Lösung das x2 oder das x3 bereits gesetzt habe komme ich eindeutige Vektoren:

Bei der Musterlösung sind allerdings die Vektoren mit lambda und mü noch nicht gesetzt und trotzdem hat er schon  (1 ; 1 ; 1) und (0 ; 3 ; 1) dort stehen.

---

Wenn du erst mal zwei Basisvektoren hast,

dann kannst du aus diesen alle möglichen

anderen erzeugen.

Ich denke mal der Autor hat einfach durch

"scharfes Hinsehen"  gemerkt, dass jeden falls 1,1,1

eine Lösung ist und mit ein bißchen Probieren

noch eine zweite gefunden, die davon linear

unabhängig ist.  2-dimensional

war ja schon klar wegen

rang=1

---

ok klar, ja sehr wahrscheinlich. Aber dann ist mein Vorgehen sicher etwas was immer klappt. Also ich gehe bei diesen Fragen immer über Guasselimination vor und finde das so heraus. (Ich fing schon an meiner Lösung an zu zweifeln.)