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F(x) = ∫ (2x+2) / (x2+2x) dx

kann jemand den Rechenweg genau darstellen?

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Fehlende Klammern in der Überschrift ergänzt. Ich hoffe, dass sie dort bleiben.

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Es gibt folgende Regel:

blob.png

Die Lösung lautet:

=ln|x2+2x|+C

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substituiere u=x2+2x,du=(2x+2)dxu=x^2+2x, \: du=(2x+2)dx.

Es ergibt sich 1udu=lnu+C\displaystyle\int\dfrac{1}{u}\, du=\ln u +C

Dann rücksubstituieren und ggf. Betragsstriche für das Argument ergänzen, falls es sich um den reellwertigen Logarithmus handelt.

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Substituriere z = x2 + 2x.

dz/dx = 2x + 2 ⇒ dx = dz/(2x + 2)

∫ (2x+2) / (x2+2x) dx

= ∫ (2x+2)/z · 1/(2x + 2) dz

= ∫ 1/z dz

= ln(|z|)

= ln(|x2 + 2x|).

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