Bestimme das uneigentliche Integral von 1 / (x + √(1+x^2) )^2

Question

Aufgabe:

Bestimme das Uneigentliche Integral dieser Funktion:

 $$  \int\limits_{0}^{\infty}  \frac{1}{(x +  \sqrt{1+x^2}  )^{2}} dx$$

Problem/Ansatz:

Ich habe es mit Integration durch Substitution probiert, wobei t = x + sqrt(1+x²) . also dx = 1/ (x /sqrt(1+x²)) +1) dt

Ich bekomme aber anschließend die x nicht reausgekürzt / umgestellt.

Könnte mir jemand helfen? Danke

Answer 1

Es gibt mehrere Möglichkeiten:

1.) mittels Euler Substitution  (siehe Video)

2.)Erweitern des Bruches durch x -√(1+x^2)

3.) Substitution x=sinh(z)

oder falls ein Tipp in der Aufgabe angegeben ist, mußt Du diesen nutzen, sonst gibt es Punktabzug.

oder :

https://www.integralrechner.de/

Comments

Danke für die aufzählung all dieser Möglichkeiten ! Ja es gibt den Tipp:

Substitution t = sqrt(1+x^2) - x  aber da bekomme ich wie oben mit " +x" keine Lösung.

Ich schaue mir das mal !

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Die 3. möglichkeit bzw. der weg aus dem integralrechner entspricht nicht meinem Tipp. du hast recht ich sollte es am besten über diesen Weg probieren aber da komme ich leider nicht weit

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Nimm den Weg unter Punkt 2 , dann kommst Du ans Ziel.

es geht auch auf "Direktem Weg"

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Cool wieso habe ich das nicht hinbekommen...

Aber wieso hast du am ende das 0 1 integral?

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ich habe die Grenzen mit substituiert .

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Genau, wieso ist das obere 0. wie genau ist sqrt(1 + inf^2) - inf = 0

spricht man hier einfach von inf - inf = 0?

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erweitere mit (√(1+x^2) +x ), dann bekommst Du die 0

Answer 2

$$ 1 / ( \sqrt{x^2+1} + x) ^2 = $$ $$ -2x * \sqrt{x^2+1}  + 2x^2 + 1  $$ Die Stammfunktion von $$ 2x * \sqrt{x^2+1} $$ lautet $$ 2/3 *(x^2+1)^(3/2) + C $$ Herleitung siehe integralrechner.net, die restlichen Terme sollten kein Problem darstellen.

Comments

Hallo.

Tut mir Leid, unter dem Bruch steht alles Hoch2. irgendwie wird die 2 nicht richtig dargestellt.

Ich versuche nochmal es anzupassen

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Habe es geändert

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Ok.

Aber sag mal, wie ich es sehe hast du lediglich die Potenz aufgelöst. das sollte alles stets noch unter dem Bruch stehen, was die integration nicht einfacher macht für mich.

Oder habe ich es falsch verstanden?

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Man kann den Bruch umformen, indem man den Nenner und Zähler mit sqrt(x^2+1)-x multipliziert. Beachte:  ( sqrt(x^2+1)+x ) * ( sqrt(x^2+1)-x ) = 1

Nach dieser Multiplikation bleibt im Nenner immer noch was stehen, also nochmals den obigen Trick anwenden, dann verschwindet der Nenner.

Die ersten beiden Zeilen meiner Antwort stellen also eine Gleichung dar (siehe "=").

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Ahso, du hast erweitert. War mir nicht direkt klar. Danke dafür!

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Eine Frage noch:  Ich habe 2 mal erweitert und habe die gewünschte stammskt erhalten.

Nun habe ich ein Problem mit dem uneig. Integral. Laut dem Video oben / integralrechner soll das Integral bei 2/3 liegen.

Bei betrachtung des x → inf geht das integral doch gegen inf ( bei x -> 0 gegen -2/3)

Irgendwie sollte das integral bei x → inf also am besten gegen 0 gehen, aber wie?

Übersehe ich etwas?

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In meiner Antwort steht nur die Stammfunktion des komplizierten Terms. Die Stammfunktionen der restlichen (einfachen) Terme müssen noch aufaddiert werden. Die gesamte Stammfunktion lautet

F(x) = 2/3 * x^3 - 2/3 ∗ (x^2+1)^(3/2) +  x + C

Für x → +inf strebt F(x) gegen C.

F(+inf) = C

F(0) = -2/3 + C

Das Integral im Intervall [0,+inf ] ist also F(+inf) - F(0) = 2/3.