a) wandle die zähler und nenner in die polarform um, dann führe die divisionen aus. damit bist du schon mal die bruchstriche los. dann wieder zurück in die kartesische form umwandeln und die addition ausführen.
b) schreibe 16i in polarform 16i = 16ei90° und ziehe daraus die vierte wurzel nach schema f.
c) hier kannst du erstmal die 1 + 5i sowie die 3 in die polarform bringen und dann die gleichung durch i teilen.
a)
$$
\frac{4}{1+i}+\frac{2i}{2i-1} = \frac{4(i-1)}{(i+1)(i-1)} + \frac{2i(2i+1)}{(2i-1)(2i+1)} = \\
\frac{4i-4}{-2}+\frac{-4+2i}{-5} = -2i+2 + \frac{4}{5}-\frac{2}{5}i = \\
\frac{14}{5}-\frac{12}{5}i
$$
b)
$$
z^4=16i \Rightarrow z = \sqrt[4]{16i} \\
16i = 16e^{i90^\circ} = 16e^{i \frac{\pi}{2}} \\
\sqrt[4]{16i} = \sqrt[4]{16}e^{i \varphi_k} = 2e^{i \varphi_k} \\
mit \ \varphi_k = \frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{2}, k=0,1,2,3 \\
\varphi_0 = \frac{1}{8}\pi, \varphi_1 = \frac{5}{8}\pi, \varphi_2 = \frac{9}{8}\pi, \varphi_3 = \frac{13}{8}\pi \\
z_0 = 2e^{\frac{1}{8}\pi}, z_1 = 2e^{\frac{5}{8}\pi}, z_2 = 2e^{\frac{9}{8}\pi}, z_3 = 2e^{\frac{13}{8}\pi} \\ \\
$$
c)
$$
ix^2-(1+5i)x+6i+3=0 \\
$$
im folgenden benutzen wir die mitternachtsformel mit
a = i, b = -(1+5i), ac = i(6i+3)
$$
x_{1,2} = \frac{1+5i\pm \sqrt{(-(1+5i))^2-4i(6i+3)}}{2i} \\
x_1 = \frac{1+5i \pm \sqrt{-2i}}{2i} = \frac{1+5i \pm i-1}{2i} \\
x_1 = \frac{6i}{2i} = 3\\
x_1 = \frac{4i+2}{2i} = 2-i
$$
lg
