Gleichverteilung | Generator

Question

Bezeichne Br die Kreisscheibe mit Radius r und Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Wir diskutieren verschiedene Versuche, durch Verwendung eines Generators von Gleichverteilungen auf reellen Intervallen eine Gleichverteilung von Punkten auf der Kreisscheibe B1 zu erzeugen.

b) Man erzeugt eine Zahl s aus dem Intervall [0, 1] und (unabhängig) eine andere Zahl φ aus dem Intervall [0, 2π] und bestimmt den Punkt p = (s · cos φ, s · sin φ) als zufälligen Punkt aus B1 . In der Tat gilt nun für alle Kreissektoren mit einem festen Winkel α, α dass die Wahrscheinlichkeit, dass p in diesem Sektor liegt, immer gleich ist, nämlich α/2π. Trotzdem entsteht dabei keine Gleichverteilung auf B1. Begründen Sie das z.B. mit dem Ereignis, dass der zufällige Punkt in B0.5 liegt.

c) Wie kann man die Methode aus b) modifizieren, damit sich die Verteilung auch bezüglich aller Br (r ∈ [0, 1]) wie eine Gleichverteilung verhält. Die Antwort muss natürlich auch kurz begründet werden.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

b) Begründung der fehlenden Gleichverteilung bei Verwendung von \(s\) und \(\varphi\)

Durch die Generierung eines Punktes \(p = (s \cdot \cos(\varphi), s \cdot \sin(\varphi))\), wobei \(s\) im Intervall \([0, 1]\) und \(\varphi\) im Intervall \([0, 2\pi]\) gleichverteilt gewählt werden, ergibt sich für einen Sektor mit Winkel \(\alpha\) eine Wahrscheinlichkeit von \(\frac{\alpha}{2\pi}\), dass der Punkt \(p\) in diesem Sektor liegt. Das bedeutet, dass die Winkelverteilung des Punktes \(p\) gleichmäßig ist.

Jedoch führt diese Methode nicht zu einer Gleichverteilung der Punkte über die Fläche der Kreisscheibe \(B1\). Der Grund hierfür liegt in der Art und Weise, wie die Entfernung \(s\) vom Mittelpunkt gewählt wird.

Bei einer echten Gleichverteilung der Punkte auf der Kreisscheibe \(B1\) sollte die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in einem kleineren Kreis \(B_{0.5}\) (mit Radius 0,5) liegt, proportional zur Fläche dieses Kreises im Verhältnis zur Gesamtfläche von \(B1\) sein. Die Fläche von \(B_{0.5}\) ist genau \(\frac{1}{4}\) der Fläche von \(B1\), weil \(A = \pi r^2\) und die Flächenverhältnisse durch das Quadrat des Radius bestimmt werden. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Punkt in \(B_{0.5}\) zu generieren, \(0,25\) oder \(25\%\)\ sein sollte.

Allerdings führt die gleichverteilte Auswahl von \(s\) im Intervall \([0, 1]\) dazu, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert für \(s\) in \([0, 0.5]\) zu wählen, ebenfalls \(50\%\) ist. Das führt zu einer überproportional hohen Konzentration von Punkten näher am Zentrum, was keine echte Gleichverteilung der Punkte über die Fläche von \(B1\) darstellt. Denn \(50\%\) der Punkte befinden sich innerhalb von \(B_{0.5}\), was nicht dem Flächenverhältnis von \(25\%\) entspricht.

c) Modifikation zur Erzielung einer Gleichverteilung

Um eine echte Gleichverteilung von Punkten auf der Kreisscheibe \(B1\) zu erreichen, muss man die Methode zur Generierung des Radius \(s\) anpassen. Anstatt \(s\) direkt aus dem Intervall \([0,1]\) zu wählen, kann man die Wurzel aus einem gleichverteilten Wert im selben Intervall ziehen, also \(s = \sqrt{u}\), wobei \(u\) im Intervall \([0,1]\) gleichverteilt ist.

Diese Anpassung bewirkt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt näher am Zentrum zu platzieren, verringert wird und somit proportional zur tatsächlichen Fläche der entsprechenden Kreissegmente von \(B1\) wird. Durch die Quadratwurzel von \(u\) wird die Dichtefunktion der Punkte so angepasst, dass sie die Zunahme der Fläche mit zunehmendem Radius berücksichtigt, was zu einer gleichmäßigen Verteilung über die gesamte Fläche von \(B1\) führt.

Die Begründung liegt in der Flächenformel des Kreises (\(A = \pi r^2\)). Die Anpassung mittels Quadratwurzel berücksichtigt, dass für eine Gleichverteilung der Flächenanteil (nicht der Radius!) konstant wachsen muss. Da die Fläche quadratisch mit dem Radius zunimmt, sorgt die Wurzel dafür, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in ein äußeres Ringsegment von \(B1\) fällt, entsprechend der tatsächlichen Flächenerweiterung angehoben wird.