Antwort mit KI erzeugt
b) Begründung der fehlenden Gleichverteilung bei Verwendung von s und φ
Durch die Generierung eines Punktes
p=(s⋅cos(φ),s⋅sin(φ)), wobei
s im Intervall
[0,1] und
φ im Intervall
[0,2π] gleichverteilt gewählt werden, ergibt sich für einen Sektor mit Winkel
α eine Wahrscheinlichkeit von
2πα, dass der Punkt
p in diesem Sektor liegt. Das bedeutet, dass die Winkelverteilung des Punktes
p gleichmäßig ist.
Jedoch führt diese Methode nicht zu einer Gleichverteilung der Punkte über die Fläche der Kreisscheibe
B1. Der Grund hierfür liegt in der Art und Weise, wie die Entfernung
s vom Mittelpunkt gewählt wird.
Bei einer echten Gleichverteilung der Punkte auf der Kreisscheibe
B1 sollte die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in einem kleineren Kreis
B0.5 (mit Radius 0,5) liegt, proportional zur Fläche dieses Kreises im Verhältnis zur Gesamtfläche von
B1 sein. Die Fläche von
B0.5 ist genau
41 der Fläche von
B1, weil
A=πr2 und die Flächenverhältnisse durch das Quadrat des Radius bestimmt werden. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Punkt in
B0.5 zu generieren,
0,25 oder
25%\ sein sollte.
Allerdings führt die gleichverteilte Auswahl von
s im Intervall
[0,1] dazu, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert für
s in
[0,0.5] zu wählen, ebenfalls
50% ist. Das führt zu einer überproportional hohen Konzentration von Punkten näher am Zentrum, was keine echte Gleichverteilung der Punkte über die Fläche von
B1 darstellt. Denn
50% der Punkte befinden sich innerhalb von
B0.5, was nicht dem Flächenverhältnis von
25% entspricht.
c) Modifikation zur Erzielung einer Gleichverteilung
Um eine echte Gleichverteilung von Punkten auf der Kreisscheibe
B1 zu erreichen, muss man die Methode zur Generierung des Radius
s anpassen. Anstatt
s direkt aus dem Intervall
[0,1] zu wählen, kann man die Wurzel aus einem gleichverteilten Wert im selben Intervall ziehen, also
s=u, wobei
u im Intervall
[0,1] gleichverteilt ist.
Diese Anpassung bewirkt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt näher am Zentrum zu platzieren, verringert wird und somit proportional zur tatsächlichen Fläche der entsprechenden Kreissegmente von
B1 wird. Durch die Quadratwurzel von
u wird die Dichtefunktion der Punkte so angepasst, dass sie die Zunahme der Fläche mit zunehmendem Radius berücksichtigt, was zu einer gleichmäßigen Verteilung über die gesamte Fläche von
B1 führt.
Die Begründung liegt in der Flächenformel des Kreises (
A=πr2). Die Anpassung mittels Quadratwurzel berücksichtigt, dass für eine Gleichverteilung der Flächenanteil (nicht der Radius!) konstant wachsen muss. Da die Fläche quadratisch mit dem Radius zunimmt, sorgt die Wurzel dafür, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in ein äußeres Ringsegment von
B1 fällt, entsprechend der tatsächlichen Flächenerweiterung angehoben wird.