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Bezeichne Br die Kreisscheibe mit Radius r und Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Wir diskutieren verschiedene Versuche, durch Verwendung eines Generators von Gleichverteilungen auf reellen Intervallen eine Gleichverteilung von Punkten auf der Kreisscheibe B1 zu erzeugen.

b) Man erzeugt eine Zahl s aus dem Intervall [0, 1] und (unabhängig) eine andere Zahl φ aus dem Intervall [0, 2π] und bestimmt den Punkt p = (s · cos φ, s · sin φ) als zufälligen Punkt aus B1 . In der Tat gilt nun für alle Kreissektoren mit einem festen Winkel α, α dass die Wahrscheinlichkeit, dass p in diesem Sektor liegt, immer gleich ist, nämlich α/2π. Trotzdem entsteht dabei keine Gleichverteilung auf B1. Begründen Sie das z.B. mit dem Ereignis, dass der zufällige Punkt in B0.5 liegt.

c) Wie kann man die Methode aus b) modifizieren, damit sich die Verteilung auch bezüglich aller Br (r ∈ [0, 1]) wie eine Gleichverteilung verhält. Die Antwort muss natürlich auch kurz begründet werden.

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Antwort mit KI erzeugt

b) Begründung der fehlenden Gleichverteilung bei Verwendung von ss und φ\varphi

Durch die Generierung eines Punktes p=(scos(φ),ssin(φ))p = (s \cdot \cos(\varphi), s \cdot \sin(\varphi)), wobei ss im Intervall [0,1][0, 1] und φ\varphi im Intervall [0,2π][0, 2\pi] gleichverteilt gewählt werden, ergibt sich für einen Sektor mit Winkel α\alpha eine Wahrscheinlichkeit von α2π\frac{\alpha}{2\pi}, dass der Punkt pp in diesem Sektor liegt. Das bedeutet, dass die Winkelverteilung des Punktes pp gleichmäßig ist.

Jedoch führt diese Methode nicht zu einer Gleichverteilung der Punkte über die Fläche der Kreisscheibe B1B1. Der Grund hierfür liegt in der Art und Weise, wie die Entfernung ss vom Mittelpunkt gewählt wird.

Bei einer echten Gleichverteilung der Punkte auf der Kreisscheibe B1B1 sollte die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in einem kleineren Kreis B0.5B_{0.5} (mit Radius 0,5) liegt, proportional zur Fläche dieses Kreises im Verhältnis zur Gesamtfläche von B1B1 sein. Die Fläche von B0.5B_{0.5} ist genau 14\frac{1}{4} der Fläche von B1B1, weil A=πr2A = \pi r^2 und die Flächenverhältnisse durch das Quadrat des Radius bestimmt werden. Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Punkt in B0.5B_{0.5} zu generieren, 0,250,25 oder 25%25\%\ sein sollte.

Allerdings führt die gleichverteilte Auswahl von ss im Intervall [0,1][0, 1] dazu, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Wert für ss in [0,0.5][0, 0.5] zu wählen, ebenfalls 50%50\% ist. Das führt zu einer überproportional hohen Konzentration von Punkten näher am Zentrum, was keine echte Gleichverteilung der Punkte über die Fläche von B1B1 darstellt. Denn 50%50\% der Punkte befinden sich innerhalb von B0.5B_{0.5}, was nicht dem Flächenverhältnis von 25%25\% entspricht.

c) Modifikation zur Erzielung einer Gleichverteilung

Um eine echte Gleichverteilung von Punkten auf der Kreisscheibe B1B1 zu erreichen, muss man die Methode zur Generierung des Radius ss anpassen. Anstatt ss direkt aus dem Intervall [0,1][0,1] zu wählen, kann man die Wurzel aus einem gleichverteilten Wert im selben Intervall ziehen, also s=us = \sqrt{u}, wobei uu im Intervall [0,1][0,1] gleichverteilt ist.

Diese Anpassung bewirkt, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt näher am Zentrum zu platzieren, verringert wird und somit proportional zur tatsächlichen Fläche der entsprechenden Kreissegmente von B1B1 wird. Durch die Quadratwurzel von uu wird die Dichtefunktion der Punkte so angepasst, dass sie die Zunahme der Fläche mit zunehmendem Radius berücksichtigt, was zu einer gleichmäßigen Verteilung über die gesamte Fläche von B1B1 führt.

Die Begründung liegt in der Flächenformel des Kreises (A=πr2A = \pi r^2). Die Anpassung mittels Quadratwurzel berücksichtigt, dass für eine Gleichverteilung der Flächenanteil (nicht der Radius!) konstant wachsen muss. Da die Fläche quadratisch mit dem Radius zunimmt, sorgt die Wurzel dafür, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt in ein äußeres Ringsegment von B1B1 fällt, entsprechend der tatsächlichen Flächenerweiterung angehoben wird.
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