Auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen: n+1-(n-1)^2/(n+1)

Question

Auf Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen:

\( a_{n}:=n+1-\frac{(n-1)^{2}}{n+1} \)

Answer 1

Hi,

bringe die Sache auf einen Nenner:

$$n+1-\frac{(n-1)^2}{n+1} = \frac{(n+1)^2-(n-1)^2}{n+1}$$

dritte binomische Formel

$$=\frac{((n+1)+(n-1))((n+1)-(n-1))}{n+1} = \frac{(2n)\cdot2}{n+1} = \frac{4n}{n+1}$$

In der Grenzwertbetrachtung: Direkt mit n dividieren:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{4}{1+\frac1n} = 4$$

Grüße

Answer 2

a _n = ( n + 1 ) - ( n - 1 ) ² / ( n + 1 )

= ( n + 1 ) - ( n ²  - 2 n + 1 ) / ( n + 1 )

= ( n + 1 ) - ( ( n ²  + 2 n + 1 ) - 4 n ) / ( n + 1 )

= ( n + 1 ) - ( ( n + 1 ) ² - 4 n ) / ( n + 1 )

= ( n + 1 ) - ( ( n + 1 ) - 4 n / ( n + 1 ) )

= 4 n / ( n + 1 )

= 4 / ( 1 + ( 1 / n ) )

also:

lim _{n → ± ∞} a _n

= lim _{n → ± ∞}  4 / ( 1 + ( 1 / n ) ) = 4 / 1 = 4