Wie bestimmt man die n-te Fourierapproximation?

Question

liebes Forum ich habe mich hier nun einmal registriert, da ich einfach nicht mehr weiter weiß.
Ich sitze und schon mehr als 10h an dieser Aufgabe und komme nicht mehr weiter.
Ich möchte noch erwähnen, dass es diese Aufgabe hier schon einmal gab, nur ist die Antwort für mich nicht verständlich.

Aufgabe:
$$ f(x)=\cos ^{2}(x), \text { gesucht ist die } n \text { -te Fourierapproximation für } n \geq 2 $$
a)

$$ \begin{array}{l}{\text { Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme (und dem trigonometrischen Pythagoras) }} \\ {\text { dass gilt } \cos ^{2}(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos (2 x)}\end{array} $$

b) Bestimmen Sie die kleinste Periode von f (z.B. mit Hilfe von a)).
c) Ist f gerade oder ungerade?

d) Bestimmen Sie nun die Koeffizienten der zu f gehörenden n-ten Fourierapproximation
für n ≥ 2.

a) Kann übersprungen werden ist nur ein bisschen Umformerei.

b) T=pi

c) f ist gerade

d) Hier liegt das Problem.

Ich weiß, dass ich am Ende diese Formel benötige :
$$ \phi_{n}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos (k \omega t)+b_{k} \sin (k \omega t)\right) $$
Ich weiß außerdem, dass die  Funktion gerade ist, somit muss ich mit der Formel für die geraden Polynome arbeiten:
$$ a_{k}=\frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (k \omega t) d t $$
Die wäre ja kein Problem, nur müsste ich dann partiell integrieren und dafür gibt es dann wiederum diese schöne Formel:
$$ \begin{array}{c}{\text { Für } r, s \in \mathbb{N} \backslash 0 r^{2} \neq s^{2} \text { gilt }} \\ {\int \cos (r x) \sin (s x) d x=-\frac{\cos ((s-r) x)}{2(s-r)}-\frac{\cos ((s+r) x)}{2(s+r)}+C, \quad C \in \mathbb{R}}\end{array} $$

Ich mache es kurz:
Dieses Thema verwirrt mich so sehr, dass ich nach 10 h immer noch nicht weiter weiß, ich weiß nicht mit welchen Formeln ich arbeiten muss, damit ich irgendwann auf eine Lösung komme.

Ich hoffe ihr könnt mir die Aufgabe d einmal richtig erklären. 
Ich weiß manche werden nun lachen und sagen, ey hier dass ist de Lösung, rechne selbst, aber hier liegt ja das Problem, ich kann es nicht.
Bitte helft mir, ich verzweifle langsam.

Liebe Grüße Lina

Answer 1

Da ist doch gar nichts zu rechnen.

Du weisst das \( f(x) = \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x) \) gilt. Damit gilt nach Deiner Formel für die Fourierkoeefizienten \( a_0= 1\) und \( a_2 = \frac{1}{2} \). Alle anderen Fourierkoeffizienten sind 0, weil die Fourrierdarstellung eindeutig ist.

Comments

Hallo ullim ,

danke für deine Antwort. 
Leider sollen wir es tatsächlich komplett berechnen

---

Was meinst Du mit komplett berechnen? Die Integrale? Maximal musst Du \( a_0 \) und \( a_2 \) berechnen. Der Rest ist ja 0.

---

Ja das meine ich, ich bekomme es nur irgendwie nicht hin, warum ist der Rest Null?

---

Der Rest ist 0, weil Du ja schon die Fourierreihe kennst aus Aufgabe Teil (a). Und die Fourierreihe ist eindeutig. Also sind nur \( a_0=1 \text{ und } a_2=\frac{1}{2} \ne 0 \)

Bei den ungeraden weisst Du ja schon, dass die 0 sind.

Also muss nur noch

$$ (1) \quad a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( \frac{1}{2} + \cos(2t) \right) \cos(0) dt  $$ und

$$ (2) \quad a_2 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \left( \frac{1}{2} + \cos(2t) \right) \cos(2t) dt $$

berechnet werden.

Das erste Integral ist einfach und ergibt wie gewünscht \( 1 \)

Das zweite Integral kann mit

https://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_von_Ableitungs-_und_Stammfunktionen

lösen und kommt auf \( \frac{1}{2} \)

---

Allgemein gilt $$ a_k = 2 \cdot \frac{\sin(\pi k) (k^2-2)}{\pi k (k^2-4)}  $$

Und daran sieht man, dass für \( a_k = 0 \) für \( k \not \in \{0,2\} \)

---

Ich verstehe nicht wie du auf die Formeln kommst, ich habe im Skript nur die zu ak und gerade:
$$a_{k}=\frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (k \omega t) d t$$

Es gibt hier leider 1000 Formeln und ich verstehe nicht welche man nehmen muss.

Ich danke dir dennoch für die Hilfe

---

Mit
$$a_{0}=\frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (0*2* t) d t$$

folgt

$$a_{0}=\frac{4}{\pi} \int_{0}^{\frac{T}{2}} cos(x) d t =\frac{4}{\pi}*1 $$

Damit komme ich nicht auf die 1

---

Ok ich habe nun herausgefunden, wie du auf a_0 und a_1 gekommen bist.

Wenn man diese Formel hier verwendet:
$$a_{k}=\frac{4}{T} \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos (k \omega t) d t$$

Nun sagst du dass a_k = 0 für k  ohne {0,1,2}.
mit  $$a_k = 2 \cdot \frac{\sin(\pi k) (k^2-2)}{\pi k (k^2-4)}$$

Setze ich hier aber nun einmal die k=0 dann ist a_0 auch 0, also irgendwas stimmt da nicht.

Wenn ich a_3 in meine Formel einsetzte kommt auch nicht a_3 = 0 raus.

Nun setze ich dies mal alles in die n-te Formel ein:
$$\phi_{n}(t)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\left(2 \cdot \frac{\sin(\pi k) (k^2-2)}{\pi k (k^2-4)} \cos (2k t)\right)$$

Da der Sinus immer Null wird (wenn k aus den ganzen Zahlen kommt) lautet dass n-te Polynom 1/2

Was ja falsch ist.

---

Der Ausdruck \( a_k = 2 \cdot \frac{\sin(\pi k) (k^2-2)}{\pi k (k^2-4)} \) wird 0, weil \( \sin(k\pi) \) immer gleich 0 ist. Außer für \( n=0 \text{ bzw. } 2 \) hat man die Situation \( \frac{0}{0}\) und dort muss man den Grenzwert berechnen. Dann kommt man auf die Lösung.