Fourierapproximation zu sin(x) und zu |sin(x)|.

Question

Gegeben ist die Funktion f: R-> R, f(x) = (sin x). Bestimmen sie die kleinste Periode von f  und berechnen Sie die Koeffizienten der Fourierapproximation von f.

Hilfe??

Comments

wie kommt ihr denn darauf, das die kleinste Periode von f(x)=|sin(x)| T=π ist?

Schließlich soll doch gelten f(x)= Ι sin (x) Ι = Ι sin (x +T)Ι = f(x+T)

und da sin(x) 2pi-periodisch gilt, ist T= 2pi.
Oder irre ich mich hier total??

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Wie kommt ihr denn darauf, das die kleinste Periode von f(x)=|sin(x)| T=π ist?

sin (x + π) = -sin(x) einverstanden? (Überleg dir das am Einheitskreis.)

Daraus folgt

|sin(x+π)| = |sin(x)| 

Answer 1

Hi,

die kleinste Periode ist 2π.

Für

f(x) ~ a₀/2 + ∑ a_kcos(kx) + ∑ b_ksin(kx)

ist a_k (und damit auch a₀) direkt als 0 erkennbar -> Punktsymmetrie.

 

b_k = 2/π∫₀^π sin(x)sin(kx) dx = 2/π∫1/2cos(x-kx) - 1/2cos(x+kx) dx

= 1/π [1/(1-k)sin((1-k)x) - 1/(1+k)sin((1+k)x)]₀^π = 2/π*sin(πk)/(1-k^2)

Das ist für jedes k ≠ 1 nun 0. Wenn man aber k = 1 in die Anfangsterm einsetzt (oder hier den Limes ausrechnet) erhält man

b₁ = 1

Folglich ist die Fourierreihe von sin(x) wieder der sin(x).

 

Grüße

Comments

f(x)= Ι sin x Ι

Gilt das ganze auch, wenn sin x im Betrag ist ?

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Nein, dann gilt das ganze natürlich nicht mehr.

Es liegt Achsensymmetrie vor (statt wie zuvor Punktsymmetrie) und b_k = 0 ist sofort als solches zu identifzieren. a_k muss aber errechnet werden. Nutze dafür wieder die Symmetrie aus, damit Dich der Betrag nicht stört ;).

Vorgehen ist sonst aber generell dasselbe.

P.S.: Die kleinste Periode wäre dann natürlich π. Ändert in der Formel das Argument zu sin(2nx) bzw. cos(2nx)!

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Die gestellte Aufgabe ist in der Tat mit |sin(x)|

Das b_k=0 sein muss ist ja klar, da die Funktion gerade ist.

 

Ich verstehe dennoch nicht so ganz, wie man a_k ausrechnen soll...

 

Die Formel ist ja a_k=2/π * ∫₀^π f(t)cos(kωt) dt... Für ω erhalte ich ja 2, aber ich weiß irgendwie nicht so recht was ich sonst da einsetzen soll... Also wofür die ganzen einzelnen Terme da stehen :(...

Kann das jemand ein wenig ausführlicher erklären?

 

Danke.

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Ja, soweit ist das richtig.

Wenn ich mich nicht vertan habe:

a₀ = 2/π∫₀^π sin(x) dx = 4/π

a_k = 2/π∫₀^π sin(x)cos(2kx) dx = ... = 4/(π(1-4k^2))

Wobei das Gepunkte Additionstheorme und Integrationen sind, die ich nicht nochmals vorstellen will.

Siehe auch die eigentliche Antwort.

 

f(x) ~ 2/π - ∑4/(π(1-4k^2))*cos(2kx)

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eine Frage hätte ich ,die mich etwas verwirrt.

Warum hast du beim einsetzen in a0 und ak den Betrag weggelassen.

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Aus Symmetriegründen ;).

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Gut, das habe ich inzwischen verstanden, danke.
Ich verstehe nur nicht ganz, wie ich dann ab

 

4/π * ∫₀^π/2 sin(x) * cos(2nx) dx       weitermachen kann.

 

Was mich dick stört ist halt das n, habe noch nicht mit  2 Variablen integriert

 

Das Aditionstheorem kenn ich theoretisch, weiß ihn aber hier nicht anzuwenden.

Ist da noch last minute Hilfe möglich?

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Die benötigte Identität ist sin(x)*cos(y) = 1/2(sin(x-y)+sin(x+y))

Und bei uns somit:

1/2(sin(x(1-2n)) + sin(x(1+2n))

(Habe also direkt x im Argument ausgeklammert). Nun darf das integrieren (summandenweise) kein Problem mehr darstellen ;).

n ist dabei als Konstante zu betrachten. Wird ja nur über x integriert.