Basis zum R^3 ergänzen

Question

Aufgabe:

Hallo ich habe die beiden Vektoren v1: (1; 3 ; 2) und v2 : (2; 1; -1) die zusammen eine Basis bilden. Jetzt soll ich diese Basis zum R^3 ergänzen. Wie mach ich das?

Answer 1

Du brauchst einen weiteren Vektor, der zu beiden lin. unabhängig ist.Linear abhängig sind drei Vektoren, wenn die Determinante =0 ist:$$|D|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & a \\ 3 & 1 & 8 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0$$ Bestimme \(a\):$$|D|=25-5a=0 \quad \Longrightarrow a=5$$ Du kannst also z. B. \(a=4 \quad  \vee  \quad a=3\) usw. wählen.

Comments

wie kommst du auf die 8 und die 3? bzw. auf den 3. Vektor?

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Habe ich mir ausgedacht. Muss aber \(\neq 0\) sein!

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Bevor Du das aber einfach so hinnimmst: Überlege, warum?!

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Vielleicht kann man sich auch$$\begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}$$ausdenken?

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Der Fantasie sind kaum Grenzen gesetzt :o