Wie Basis für Unterraum zeigen und ergänzen?

Question

Hallo :),

ich versuche mich gerade auf meine Klausur vorzubereiten und stelle fest, ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:

Zeigen Sie, dass
\( \left\{x^{3}+x^{2}, x^{3}+x\right\} \)
eine Basis für den Unterraum
\( W=\left\{p \in \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}): p(-1)=p(0)=0\right\} \)
von \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \) ist und bestimmen Sie somit \( \operatorname{dim} W \). Ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis für \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \) und finden Sie somit ein Komplement von \( W \) in \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \).

Hierbei ist \( \mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}) \) der Polynomring.

Mein bisheriger Ansatz:

wegen der Definition von
\( W: \quad \alpha_{0}=0   und   \)
\( \alpha_{1} \cdot(-1)+\alpha_{2} \cdot(-1)^{2}+2_{3}(-1)^{3}=0 \)
\( \Leftrightarrow-\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}=0 \)

\( \quad \lambda_{1}\left(x^{3}+x^{2}\right)+\lambda_{2}\left(x^{3}+x\right)=0 \)
\( \left(\lambda_{n}+x_{2}\right) x^{3}+\lambda_{1} x^{2}+\lambda_{2} x=0 \)
\( \Leftrightarrow\left(x_{1}+\lambda_{2}\right)=0 \quad \lambda_{1}=0 \quad \lambda_{2}=0 \), also linear unabhängig

Zeigen, dass W erzeugt wird:

\( a_{0}+a_{1} x^{1}+\alpha_{2} x^{2}+\alpha_{3} x^{3}   wobei    a_{0}=0 \)

Ich weiß nicht ganu, wie ich denn mit den Gleichungen zeigen soll, dass die Basis W erzeugt.

Zur Ergänzung der Basis bin ich mir gar nicht sicher :/. Ich schätze aber, da kommt eine 1 rein und vielleicht noch x₃?

Ich danke schonmal für eure Anworten und wünsche einen schönen Sonntag! :)

Lina

Comments

Hallo,

das 2. Polynom \(p(x)=x^3+x\) hat doch \(p(-1)=-2\), liegt also nicht in WW oder??

Gruß Mathhilf

---

Hallo :-)

Dem schließe ich mich an. \(\left\{x^{3}+x^{2}, x^{3}-x\right\} \) würde aber funktionieren, denn \((-1)^3+(-1)^2=-1+1=0=0^3+0^2\)

und \((-1)^3-(-1)=-1+1=0=0^3-0\).

---

Hallo,

das stimmt! Das hatte ich gar nicht in Betracht gezogen. Aber so steht das tatsächlich auf dem Klausurvorbereitungsblatt, komisch.

Answer 1

\( \left\{x^{3}+x^{2}, x^{3}+x\right\} \)

Ich gehe davon aus, dass das zweite Polynom \(x^3-x\) lautet.

\(\lambda_{1}\left(x^{3}+x^{2}\right)+\lambda_{2}\left(x^{3}+x\right)=0 \)

Die Idee ist richtig aber irgendetwas ist bei deinen Umformungen schief gelaufen. Mit den richtigen Polynomen lautet die Gleichung umgeformt

        \(\left(\lambda_{1}+\lambda_2\right)x^3 + \lambda_{1} x^{2}-\lambda_{2} x=0 \).

Um zu zeigen dass \(W\) erzeugt wird sei

        \(\alpha_3x^3 + \alpha_2x^2 + \alpha_1x + \alpha_0 \in W\).

Es genügt zu zeigen, dass es \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) gibt, so dass

(1)        \(\left(\lambda_{1}+\lambda_2\right)x^3 + \lambda_{1} x^{2}-\lambda_{2}x = \alpha_3x^3 + \alpha_2x^2 + \alpha_1x + \alpha_0\)

für jedes \(x\in \mathbb{R}\) ist.

Wegen

        \(\alpha_3\cdot 0^3 + \alpha_2\cdot 0^2 + \alpha_1\cdot 0 + \alpha_0 = 0\)

ist

(2)        \(\alpha_0 = 0\).

Wegen

        \(\alpha_3\cdot (-1)^3 + \alpha_2\cdot (-1)^2 + \alpha_1\cdot (-1) + \alpha_0 = 0\)

und (2) ist

(3)        \(\alpha_2 = \alpha_3 + \alpha_1\).

Einsetzen von (2) und (3) in (1) ergibt

        \(\left(\lambda_{1}+\lambda_2\right)x^3 + \lambda_{1} x^{2}-\lambda_{2}x = \alpha_3x^3 + (\alpha_3 + \alpha_1)x^2 + \alpha_1x\).

Nun liefert ein Koeffizientenvergleich das LGS

        \(\begin{aligned}\lambda_1 + \lambda_2 &= \alpha_3\\\lambda_1&=\alpha_3+\alpha_1\\-\lambda_2&=\alpha_1\end{aligned}\)

Comments

Hallo,

danke vielmals für die Antwort! Mit dem neuen Polynom ergibt das auch Sinn so.

Nun erneut die Frage, wie komme ich denn dann auf das Komplement? Ist es quasi nur starkes Nachdenken, was man denn noch für den neuen Raum braucht, wie zum Beispiel dann die 1 für das α₀?

Gruß und danke nochmal!

---

Basisergänzungssatz. Ist \(M\subseteq V\) linear unabhängig und \(E\subseteq V\) ein Erzeugendensystem von \(V\), dann lässt sich \(M\) mit Elementen aus \(E\) zu einer Basis von \(V\) ergänzen.

Verwende \(\left\{x^{3}+x^{2}, x^{3}-x\right\}\) als \(M\) und die Standardbasis von \(\mathcal{P}_3(\mathbb{R})\) als \(E\).

Wähle ein Element \(v\in E\) und füge es zu \(M\) hinzu. Wird \(M\) dadurch linear abhängig, dann entferne \(v\) wieder.

Wiederhole bis \(\left|M\right| = 4\) ist.

Ist es quasi nur starkes Nachdenken

Nein, es geht auch algorithmisch wie ich eben beschrieben habe. Aber starkes Nachdenken hilft dabei, dass du nicht wahllos in der Menge \(E\) herumstochern musst um die passenden Ergänzungen zu finden.

wie zum Beispiel dann die 1 für das α₀?

Starkes Nachdenken scheint zu funktionieren.