Wie berechnet man den Mittelpunkt eines Dreickes?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man einen Mittelpunkt von einem Dreieck?

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Problem.

In der Schule müssen wir den Mittelpunk eines Dreieckes konstruieren und ich habe keine Ahnung wie man dass macht.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie berechne ich den Mittelpunkt eines Dreiecks?

Stichworte: dreieck,vektoren,mittelpunkt

Wie berechne ich den Mittelpunkt eines Dreiecks,

also den Punkt, der zu allen drei Eckpunkten des Dreiecks denselben Abstand hat?

Gerne auch mit Vektorrechnung

Answer 1

Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten.

Man hat ihn also bereits gefunden, wenn man zwei der drei Mittelsenkrechten zum Schnitt bringt.

Answer 2

Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C berechnet sich mit S = (A + B + C) / 3.

Du kannst ja mal überlegen, wie die Eckpunkte als vektorielle Größen dargestellt werden können.

Comments

Hat der Schwerpunkt des Dreiecks denselben Abstand zu allen drei Eckpunkten?

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Nein, das hat der Schwerpunkt nicht.

Answer 3

Falls du den Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren musst, verbinde die Eckpunkte mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten.

Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Gruß, Silvia

Comments

Komme nicht draus...

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Wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

Answer 4

Du kannst die Koordinaten des Umkreismittelpunktes allgemein über den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmen.

Die Formel steht schon fertig bei https://de.wikipedia.org/wiki/Umkreis

Text erkannt:

Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts \( \left(x_{u}, y_{u}\right) \) können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien \( \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) \) und \( \left(x_{3}, y_{3}\right) \)
Mit
$$ d=2\left(x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)\right) $$
ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts
$$ x_{u}=\frac{\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)\left(y_{2}-y_{3}\right)+\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\left(y_{3}-y_{1}\right)+\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)\left(y_{1}-y_{2}\right)}{d} $$
und
$$ y_{u}=\frac{\left(x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)+\left(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)+\left(x_{3}^{2}+y_{3}^{2}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)}{d} $$
\( \begin{array}{|c|c|}\hline & {\text { Umkreismittelpunkt eines Dreiecks }\left(X_{3}\right)} \\ \hline & {\cos \alpha: \cos \beta: \cos \gamma} \\ {\text { Trilineare Koordinaten }} & {=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right): b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right): c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)} \\ \hline \text { Baryzentrische Koordinaten } & {\sin (2 \alpha): \sin (2 \beta): \sin (2 \gamma)} \\ \hline\end{array} \)

Answer 5

Den "Mittelpunkt" eines Dreiecks gibt es nicht.

Es gibt mehrere hundert Punkte, die man (mit verschiedenen Begründungen) als "Mittelpunkt" bezeichnen könnte.