[Vollständige Induktion] Ungleichung irritiert mich: 2^n < n!

Question

Aufgabe: zeige für welche n€ N  2^n < n! gilt

Ansatz:

Induktions-Anfang:

für n = 1 : \( 2^n < n!  \Longrightarrow  \)  X

für n = 2 : \( 2^2 < 2!  \Longrightarrow  \)  X

für n = 3 : \( 2^3 < 3!  \Longrightarrow  \)  X

für n = 4 : \( 2^4 < 4!  \Longrightarrow  \)  ✅

Induktions-Annahme:

Behauptung gelte für ein festes & beliebiges n € N

Induktions-Schritt:

z.Z. dass n! > 2^n gilt    // Gleichung zum Lösen hier umgedreht

\( (n+1)! > 2^{n+1} \)
\( = (n+1)*n! > 2^n * 2 \)
\( > (n+1)*2^n > 2^n * 2 \)   // i.A. eingesetzt 

Und hier beginnt mein Denkfehler...

Wenn ich in der letzten Zeile n = 2 setze, dann erhalte ich 
\( (2+1)*2^2 = 12 > 8 = 2^2 * 2\)

Das Ergebnis stimmt ja, aber laut Induktions-Anfang, dürfte die Gleichung doch erst ab einem n = 4 gelten... ?!

ich dachte der Induktionsanfang müsste die selbe Aussage treffen wie das was der Induktionsschritt zeigt?

Comments

"Wenn ich in der letzten Zeile n = 2 setze,..."

Warum solltest du das tun? Da die Ungleichung erst ab n=4 gilt ist das Einsetzen von 2 sinnlos.

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Weil ich die Annahme aus dem Ind-Anfang bestätigt sehen wollte.

Ich hab meinen Denkfehler gefunden... Danke für*s Kommentar!

Answer 1

  2ⁿ < n! gilt  n≥4€ N.

ein allgemeiner Beweis kann durch vollständige Induktion geführt werden:

Ind.Anf. für n=4, weil 16<24

Sei  2ⁿ < n!  Multipliziere die linke Seite mit 2 und die rechte mit n+1. Für n≥4 ist der rechte Faktor größer als der linke. Daher bleibt die rechte Seite größer als die linke und es gilt

2ⁿ ·2< n!·(n+1)  bzw,: 2ⁿ⁺¹ < (n+1)!