Komplexe Einheitswurzel von -1

Question

Aufgabe:

ich soll die 4te Komplexe Einheitswurzel von -1 bestimmen und stehe dabei irgendwie auf dem Schlauch.

Problem/Ansatz:

Allgemein gilt ja; $$z^n=1$$

Z ist in diesen Fall -1 und der Betrag von z ist 1, somit gilt

$$1*e^{\frac{ik2π}{n}}$$

wobei n immer 4 ist und k je nach Zk variiert.

Also wäre Z0 für mich=  $$1*e^{\frac{i0*2π}{4}}$$

also = 1 , allerdings ist dies laut Lösung nicht annähernd richtig. Ich glaube ich verstehe etwas fundamentales hier nicht.

Dazu kommt dass die Lösung eigentlich einen Winkel von 45° entsprechen soll, wenn ich -1 aber im Polarkoordiantensystem einzeichne müsste der Winkel doch 180° entsprechen?

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Mfg

Answer 1

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Comments

Vielen vielen Dank, aber eine Frage hätte ich. Wieso folgt aus tan phi=0, dass phi = pi ist?

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-1 liegt im 2. Quadranten deshalb  ist tan 0 = π

Answer 2

Hallo

 dein Ansatz -1=e^ik2π ist falsch, du kannst es leicht sehen, dass es für alle k falsch ist auch bevor du die Wurzel ziehst, richtig ist: -1=e^iπ+ik*2π  und daraus die n te bzw. 4 te  Wurzel!

Gruß lul

Comments

Vielen Dank, aber wie komme ich darauf? In der Vorlesung habe ich eben nur die andere Formel gelernt, woher kommt vor allem das pi vor dem + Zeichen?

Answer 3

Allgemein gilt ja: zⁿ=1.

Nein das gilt sicher nicht.