Warum ist die Summe zweiter beliebiger A-TEC einheitswurzeln selbst keine k-te einheitswurzel?

Question

Aufgabe:

Warum ist die Summe zweiter beliebiger K-ten einheitswurzeln selbst keine k-te einheitswurzel?

Problem/Ansatz:

Also ich bin so vorgegangen

Seien za+zb zwei beliebige k-te EW

za+zb= ( 1, 2pi a/n)+(1, 2pi b/n)

       = (1*1, 2pi a/n+2pi b/n)

       = (1, 2pi (a/n+b/n)

       = (1, 2pi(a+b/n)

Aber das ist doch eine k-te EW oder nicht?

Würde mich über Hilfen freuen. LG

Comments

Hallo

was sind A-TEC Einheitswurzeln. also für was steht A-TEC

teilweise sieht es so aus als ginge es um komplexe Einheitswurzeln ?

Gruß lul

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Oh sry da sollte k-te Einheitswurzeln stehen.

Answer 1

Komplexe Zahlen werden multipliziert indem die Argumente addiert werden und die Beträge multipliziert werden.

Beim Potenzieren von komplexen Zahlen wird also der Betrag vervielfacht (|z^k| = k·|z|).

Die Summe zweier komplexer Zahlen (≠0) mit gleichem Betrag hat in der Regel einen anderen Betrag als die Summanden (mit einer Ausnahme).

Deshalb ist die Summe zweier k-ter Einheitswurzeln keine k-te Einheitswurzel.

Seien za+zb zwei beliebige k-te EW

za+zb können keine zwei k-te EW sein, weil za+zb nur eine Zahl ist.

za+zb= ( 1, 2pi a/n)+(1, 2pi b/n)

Wo kommt das n her und was bedeutet die Notation (1, 2pi a/n)?

Comments

Ich verstehe nicht ganz was du mit

...hat einen anderen Betrag als jeder der Summanden, meinst. Aber danke dafür;)

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za = (1, 2·pi·a/n)

Ich nehme mal an, 1 soll der Betrag und 2·pi·a/n soll das Argument der komplexen Zahl sein.

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Genau bzw. da es um k-te EW geht sollte es nicht a/n sondern k/n heissen

Answer 2

@Bas

Oswald hat dich schon auf deinen Fehler hingewiesen.

Komplexe Zahlen werden multipliziert indem die Argumente addiert werden und die Beträge multipliziert werden.

Das gilt wie gesagt für die Multiplikation. Du versuchst das hier allerdings auf die Addition anzuwenden. Das darfst du nicht machen.

Comments

Gilt nicht: EXP(i·2·pi/6) + EXP(i·2·pi·3/6) = EXP(i·2·pi·2/6)

Ist das nicht eigentlich dann ein Gegenbeispiel. Das die Summe zweier 6. Einheitswurzeln wieder eine 6. Einheitswurzel ergibt?

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Mit EXP haben wir noch nicht gearbeitet. Aber ich habe nun verstanden wo mein Fehler lag dankee

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EXP(x) = e^x ist die e-Notation von komplexen Zahlen.

Du könntest es in deiner Notation auch wie folgt schreiben

(1, 2·pi/6) + (1, 2·pi·3/6) = (1, 2·pi·2/6)

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Verstehe nicht so ganz wie du darauf kommst

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Verstehe nicht so ganz wie du darauf kommst

Es könnte dir helfen, wenn du dir die 6. Eineitswurzeln mal skizzierst.

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1, 2pi/6 ist die 6.einheitswurzel richtig?

Was ist dann 1, 2pi•3/6?

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Es gibt sechs 6. Einheitswurzeln. Alle sind sie oben skizziert.

Also die Gleichung z^6 = 1 wird von 6 komplexen Zahlen erfüllt.

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Ahaa ok danke dir:)