Einheitswurzeln bestimmen und lösen

Question

Guten Abend ihr Lieben,

könntet ihr mir bei meiner Aufgabe helfen? Ich benötige Hilfe und leider habe ich auch keinen richtigen Ansatz, wo ich anfangen soll. Hier die Aufgabe:

Meine Idee für 1. war folgende:

\(\begin{array}{rl}z^{n}+r^{n}=0 \quad /-r^{n}\\ z^{n}=-r^{n} & z=\sqrt[n]{-r^{n}} \\ z_{k} & =\sqrt[n]{-r^{n}} \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}}=\sqrt[n]{-r^{n}} \cdot\left[\cos \left(\frac{2 k \pi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{2 k \pi}{n}\right)\right] \\ & =i \sqrt[n]{r^{n}} \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}}\end{array} \)

Für jede Hilfe bin ich dankbar!

Answer 1

\(i \sqrt[n]{r^{n}} \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}}\)

wegen r>0 ist doch \(\sqrt[n]{r^{n}} = r\) also ist es

\(i  \cdot r \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}}  = r \cdot i \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}} \)

\(  = r \cdot e^{\frac{i \pi }{2}}  \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}} \)

\(  = r   \cdot e^{\frac{2 i \pi k}{n}+\frac{i \pi }{2}} \)

\(  = r   \cdot e^{\frac{4 i \pi k+ni \pi}{2n}} \)

\(  = r   \cdot e^{\frac{ i \pi (4 k+n)}{2n}} \)

Answer 2

Zu 2.:

Es ist \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k^0=\sum_{k=0}^{n-1} 1=n\) und für

\(j\neq 0\) gilt \(\omega_k^j=\omega_j^k\) für \(k=0,...,n-1\),

also ist \(\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k^j=\sum_{k=0}^{n-1}\omega_j^k=\)

\(=\frac{\omega_j^n-1}{\omega-1}=\frac{1-1}{\omega-1}=0\)

\(\prod_{k=0}^{n-1}\omega_k=(e^{2\pi i/n})^{0+1+\cdots+(n-1)}=\)

\(=(e^{2\pi i/n})^{n(n-1)/2}=(e^{\pi i})^{n-1}=(-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}\)