Einheitswurzel Abelsche Gruppe Beweis

Question

Aufgabe:

Zeige das die n'te Einheitswurzel

\( a=e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \)

mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe bildet. Zeige dafür: Neutrales Element, Assoziativität, Kommutativität und Inverse

Problem/Ansatz:

wie gehe ich im Fall Einheitswurzeln da vor?

kann mir da jemand erklären wie das hier funktioniert?

vg coffee.cup

Answer 1

Es geht ja sicher um die Menge aller N-ten Einheitswurzeln

\(a_k=e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \) für k∈ℕ_o.

Zeige dafür: Neutrales Element, Assoziativität, Kommutativität und Inverse

und sicherlich auch Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation.

Die ist gegeben, weil für \(a_k=e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \) und \(a_h=e^{\frac{i 2 \pi}{N} h}\) gilt

\(a_k \cdot a_h =e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} h}  =e^{\frac{i 2 \pi}{N} (k+h) }  \).

Neutrales Element ist \(a_0=e^{\frac{i 2 \pi}{N} \cdot 0} \)

Assoziativität : \( (a_k \cdot a_h ) \cdot a_g =(e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} h} ) \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} g }  \)

\( =e^{\frac{i 2 \pi}{N} (k+h)} \cdot   e^{\frac{i 2 \pi}{N} g } =e^{\frac{i 2 \pi}{N} ((k+h)+g)} \)

und wegen der Assoziativität in (ℕo ; + ) gilt

\( =e^{\frac{i 2 \pi}{N} (k+(h+g))}  =e^{\frac{i 2 \pi}{N} k} \cdot e^{\frac{i 2 \pi}{N} (h+g)} =a_k \cdot (a_h \cdot a_g ) \).

Kommutativität überträgt sich entsprechend von (ℕo ; + )

und Inverses zu a_k ist a_N-k wobei k>N ausgeschlossen werden kann,

da a_k = a_{k mod N} .

Answer 2

\(z\) ist eine \(N\)-te Einheitswurzel \(\iff z^N=1\).

Damit ist \(W_N:=\{z\in \mathbb{C}: \; z^N=1\}\) die Menge der

\(N\)-ten Einheitswurzeln.

Ich benutze das Untergruppenkriterium

für \(W_N\) als Teilmenge der Gruppe \(\mathbb{C}^*\)

mit der induzierten Verknüpfung:

\(1\in W_N\), also \(W_N\neq \emptyset\).

\(z_1,z_2\in W_N\Rightarrow (z_1z_2^{-1})^N=z_1^N(z_2^{-1})^N=\)

\(=1\cdot (z_2^N)^{-1}=1\cdot(1)^{-1}=1\Rightarrow z_1z_2^{-1}\in W_N\),

q.e.d.