Problem/Ansatz:Wie kommt man hier auf die Stammfunktion?

Question

Aufgabe: Integral bestimmen

Problem/Ansatz:Wie kommt man hier auf die Stammfunktion ?

Text erkannt:

\( =\pi+\frac{1}{4} \cdot \int \limits_{0}^{2 \cdot \pi} 2 \cdot \sin (\varphi) \cdot \cos (\varphi) \mathrm{d} \varphi \)
\( =\pi+\frac{1}{4}\left[-\cos ^{2}(\varphi)\right]_{\varphi=0}^{2 \cdot \pi}=\pi+0 \)
\( =\pi \)

Answer 1

Wie kommt man hier auf die Stammfunktion ?

Mit partieller Integration oder mit der Kenntnis, dass

\(2 \cdot \sin (\varphi) \cdot \cos (\varphi) = \sin (2\varphi) \) gilt und man also \(sin (2\varphi) \) integrieren muss.

Comments

Die Stammfunktion von sin(2φ) ist -1/2 ·cos(2φ) oder nicht ?

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Davon kannst du dich durch ableiten von -1/2 ·cos(2φ) schnell überzeugen.

Answer 2

Hallo,

Substitiere

z= cos(φ)

dz/dφ = -sin(φ)

dφ =dz/ -sin(φ)

eingesetzt und zusammen gefasst in den Integranden:

=2 sin(φ) * cos(φ) *dφ

=2 sin(φ) * cos(φ) dz/ -sin(φ)

= -2 z dz = -z^2 +C ->Resubstitution z=  cos(φ)

= - cos^2(φ) +C

Answer 3

Ich hätte die Stammfunktion anders ermittelt.

Umkehrung der Kettenregel. Erkenne also das cos(φ) die Ableitung von sin(φ) ist.

2*sin(φ) ist die äußere Ableitung von sin²(φ).

Also gilt laut Kettenregel

[sin²(φ)]' = 2*sin(φ) * cos(φ)