Wie kommt man auf diese Stammfunktion?

Question

Weisen Sie nach, dass die Funktion F mit der Gleichung F(x)= -9/2 • (4x+45) • e^-1/9x , eine Stammfunktion von f ist.

f(x)= 1/2 • (4x+9) • e^-1/9x

Ich weiß nun leider gar nicht wie man auf diese Stammfunktion kommt.. stehe da total auf dem Schlauch.

Answer 1

Du sollst nur nachweisen das es eine Stammfunktion ist. Dazu brauchst du nur F(x) ableiten und zeigen das f(x) heraus kommt.

Answer 2

"Ich weiß nun leider gar nicht wie man auf diese Stammfunktion kommt.. stehe da total auf dem Schlauch. "

Das ist auch nicht verlangt. D.h. du stellst schon im Titel eine kompliziertere Frage als in der Fragestellung.

Wenn du nachweisen sollst, dass F eine Stammfunktion von f ist, genügt es zu prüfen, ob bei der Ableitung von F(x) die Funktion f herauskommt.

Das schaffst du selbst. Oder? Kombination von Produktregel und Kettenregel der Ableitung gewissenhaft durchziehen.

Comments

Hmm also ich also ich habe jetzt die Regeln angewendet, weiß aber nicht genau, wie ich auf das Endergebnis komme.

Das habe ich jetzt als Ergebnis für die Produkt-/Kettenregel raus: 4 • e^-1/9x + 4 x + 45 (-1/9 e^-1/9x)

Das Zusammenfassen fällt mir immer am schwersten

---

F(x)= -9/2 • (4x+45) • e^(-1/9 x)

F ' (x)= -9/2 • (4) • e^(-1/9x) + (-9/2)* (4x+ 45) (-1/9)*(e^(-1/9 x) )

Faktor "e hoch etwas" ausklammern

F ' (x)= (-9/2 • (4) + (4x+ 45) (-9/2) (-1/9 ) )*(e^(-1/9 x)

In der langen Klammer sortieren und Bruchrechnen:

F ' (x)= (-18 + (4x+ 45) *(1/2) )*(e^(-1/9 x)

F ' (x)= (-18+ (2x+ 22.5) )*(e^(-1/9 x)

F ' (x)= (2x+ 4.5)*(e^(-1/9 x)

1/2 ausklammern

F ' (x)=(1/2) (4x+ 9) )*(e^(-1/9 x) = f(x)

Answer 3

F(x) = -9/2 • (4x+45) • e-1/9x
Die Konstante -9/2 lassen wir zunächst einmal weg
und fügen diese am Schluß wieder hinzu

Ableitung nach der Produktregel
u := 4x + 45
u ´= 4
v = e^(-1/9*x)
v ´= e^(-1/9*x) * (-1/9)

u ´ * v + u * v ´

4 * e^(-1/9*x) + (4x + 45) * e^(-1/9*x) * (-1/9)
e^(-1/9*x) * ( 4 + (4x + 45) * (-1/9) )
e^(-1/9*x) * ( 4 + - 4/9 * x - 5 )
e^(-1/9*x) * ( -1 - 4/9 * x )
-9/2 wieder hinzu
-9/2 * e^(-1/9*x) * ( -1 - 4/9 * x )  |
1/2 * e^(-1/9*x) * -9 * ( -1 - 4/9 * x )
1/2 * e^(-1/9*x) * ( 9 + 4x )

Ich persönlich hätte bei
e^(-1/9*x) * ( -1 - 4/9 * x )
mit dem zusammenfassen aufgehört

Answer 4

Text erkannt:

Abgeleitet mit der Quotientenregel:
\( F(x)=-\frac{9}{2} \cdot(4 x+45) \cdot e^{-\frac{1}{9} x} \)
\( F(x)=-\frac{9}{2} \cdot\left[\frac{4 x+45}{e^{\frac{1}{9} x}}\right] \)
\( F \cdot(x)=-\frac{9}{2} \cdot \frac{4 \cdot e^{\frac{1}{9} x}-(4 x+45) \cdot e^{\frac{1}{9} x} \cdot \frac{1}{9}}{\left(e^{\frac{1}{9} x}\right)^{2}} \)
\( F^{\prime}(x)=-\frac{9}{2} \cdot \frac{4-(4 x+45) \cdot \frac{1}{9}}{e^{\frac{1}{9} x}}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{36-(4 x+45)}{e^{\frac{1}{9} x}}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{36-4 x-45}{e^{\frac{1}{9} x}}= \)
\( F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} \cdot \frac{9+4 x}{e^{\frac{1}{9} x}} \)