Alle komplexen Lösungen bestimmen von z^{2}= -1 - i

Question

Aufgabe:

Was ist generell gemeint mit : Bestimmen sie alle komplexen Lösungen der Gleichung : xy ?

Beispiel :

z^2=-1-i

(z=1+\( \sqrt{3} \)i)

Answer 1

du suchst alle (komplexen) Lösungen, damit die Gleichung wahr ist.

z²=-1-i

Hier suchst du alle Werte für z, die quadriert gleich -1-i ergeben.

In diesem Fall lauten die Lösungen:

\(z_1=\sqrt{-1-i}, \, z_2=-\sqrt{-1-i}\), da \(\sqrt{-1-i}^2=-1-i\) ergibt.

Comments

z ist doch aber schon angegeben ?

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Nein. Nicht z, sondern das Quadrat von z ist angegeben.

Was darunter noch steht:

(z=1+√3i)

ist unsinnig und hat mit der Aufgabe nichts zu tun.

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z² ist gegeben.

Du gehst doch genau so vor, als suchtest du reelle Lösungen von z.B. x²=3

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z ist doch aber (z=1+Wurzel(3)i) oder nicht ?

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Nebenbei: Hast du mit TR gerechnet oder ohne ?

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Es soll aber rauskommen :

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Ich rede von deinem ersten Beispiel.

Also die Wurzel ziehen sollte man noch ohne TR schaffen.

Bei deinem zweiten Beispiel ist z doch schon aufgelöst.

Was hast du bei Wolfram denn eingegeben?

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z ist doch aber (z=1+Wurzel(3)i) oder nicht ?

Ist es nicht. Das hat mit der Gleichung z²=-1-i

nicht das Geringste zu tun.

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Es gab wohl ein Missverständnis:

Es ist nur ein Beispiel.(das obere,das untere ist egal/Mein Fehler)

Das ist eine Übungsaufgabe zur Vorbereitung für die Klausur.

Lösungen gegeben.

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Ja, für z²=-1-i kommt immer noch folgendes raus:

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Na gut, In der Lösung der (UNI)Übung steht diese Lösung drin.

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Wie kommt man denn dann auf die oben gezeigten Ergebnisse ?

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Die Ergebnisse sind identisch. Nur, dass deine Ergebnisse in der trigonometrischen Form gegeben sind.

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Puh, und dann ohne TR ... in der Klausur mit Zeitdruck...

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In der Form

\(z_1=\sqrt{-1-i}, \, z_2=-\sqrt{-1-i}\)

werden die Ergebnisse aber eigentlich nie erwartet :-)

Wenn ich der Fragesteller wäre, käme ich mir veräppelt vor!

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Ich meinte Polar- nicht Exponentialform, mein Fehler.^^

Answer 2

Du sollst alle komplexen Zahlen bestimmen, deren Quadrat -1-i ergibt. Was sonst?

Comments

Wenn ich der Fragesteller wäre, käme ich mir veräppelt vor!

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Warum denn? abakus sagt hiermit, dass die zweiten Wurzeln von -1 - i gesucht sind. Das kann man nachschauen. https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen und kommt auf den Lösungsweg von Grosserloewe.

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Dein Link führt erst einmal zu einem weiteren Link:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

und dann hat der FS immer noch nicht die Polarform.

Aber zugegebenermaßen kann man seine Frage so interpretieren, dass er nicht mehr als die Miniantwort wissen wollte.

Wie kommt man denn dann auf die oben gezeigten Ergebnisse ?

Das lässt aber bei mir erhebliche Zweifel daran aufkommen.

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Danke. Dein Link ist direkter. Habe das korrigiert.

Answer 3

So schaffst Du es in der Klausur:

Comments

danke dir für deine Hilfe

Answer 4

z^{2}=-1-i

(x+iy)^2 = -1 - i

x^2 + 2xyi - y^2 = -1 - i

Real- und Imaginärteil trennen:

x^2 - y^2 = -1         (I)

2xy = -1               (II)

y = -1/(2x)               (II)'

Einsetzen in (I)

x^2 - (-1/(2x))^2 = -1

x^2 - 1/(4x^2) = - 1  | * (4x^2)

4x^4 - 1 = -4x^2

4x^4 + 4x^2 - 1 = 0        | substituiere u = x^2 → quadratische Gleichung.

usw.

Bitte erst mal bis hierhin nachrechnen.