Komplexe Zahlen berechnen (polarkoordinaten)

Question

in dieser Aufgabe soll ich alle komplexen Losungen folgender Gleichung in Polarkoordinatenform
z=re^{i*phi}. Für |r| kommt =1 raus und wenn ich arccos ((1/2)/(√3/2))  berechne kommt für Phi = pi/6 raus.

Dann habe ich, wenn die Rechnung soweit richtig ist z= 1*e^pi/6. Aber wie muss ich dann weiter verfahren?

LG

Answer 1

Du hast schon richtig

$$z= e^{i \pi/ 6}$$ berechnet. Dann ist \(z^{111}\):

$$z^{111}= e^{i \cdot 111 \pi/6} = e^{i \cdot (111/12) \cdot 2\pi }= e^{i \cdot (9 + 1/4) \cdot 2\pi }= e^{i \cdot \pi/2 } = i$$ Bem.: \(e^{i \cdot 2k\pi} = 1\) mit \(k \in \mathbb{Z}\)

Gruß Werner

Comments

Danke für die Antworten..Habe es einigermaßen geschnallt, nur fällt mir die Umformung nicht so leicht, weil ich mich mit der Thematik wohl zu wenig beschäftigt habe.

Und das ganze am Ende noch ohne Taschenrechner..

LG

Answer 2

bis jetzt stimmt es,so geht es weiter:

Answer 3

Hallo Ela,

r =1 und φ = π/6  sind richtig

√3/2 + 1/2·i  = 1 * e^i·π/6  

(√3/2 + 1/2·i)¹¹¹ =  e^{i·π/6 ·111} =  e^i·18,5 π  =  e^{i·(18,5 π - 9·2π)}  =  e^i·π/2  =  i

Die Polarkoordinaten von (√3/2 + 1/2·i)¹¹¹   sind also  r = 1  und  φ = π/2  

Gruß Wolfgang