Tischtennistunier und Problem mit einer Markov Kette modellieren, deren Zustände gegeben sind

Question

Die gleichstarken Spieler A; B; C spielen ein Tischtennisturnier. A und B beginnen. Ab da spielt immer der Spieler, der gerade ausgesetzt hat, gegen den Gewinner der gerade gespielten Partie. DasTurnier endet, wenn ein Spieler zwei Partien direkt hintereinander gewinnt. (Und dieser Spieler ist dann der Sieger des Turniers.) Wie groß sind jeweils die Chancen von A; B und C, das Turnier zu gewinnen? Wie groß ist die mittlere Dauer des Turniers?

Ich brauche eure Hilfe bei dieser Frage. Hab leider keinen Plan gerade. Ich soll das Problem mit einer Markov- Kette modellieren, deren Zustande:¬C (C setzt aus) , C (C spielt zum 1. Mal in Folge) , CC (C spielt zum 2. Mal in Folge), Cg (C gewinnt das Turnier) und Cv(C gewinnt das Turnier nicht) sind.

Danke schon für eure Hilfe!

Answer 1

Hier die Überganswahrscheinlichkeiten:

• ¬C→ C: 1/2
• ¬C→ Cv: 1/2
• C → Cv: 1/2
• C → CC: 1/2
• CC → ¬C: 1/2
  
• CC → Cg: 1/2
  
• Cv → Cv: 1
  
• Cg → Cg: 1
  

Bestimme die Übergangsmatrix M.

Wie groß sind jeweils die Chancen von A; B und C, das Turnier zu gewinnen?

Bestimme die Komponente Cg in lim_n→∞ Mⁿ wenn sich das Turnier anfangs im Zustand C befindet. Das ist die Wahrscheinlichkeit, das Spieler C gewinnt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A gewinnt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass Spieler B gewinnt.

Wie groß ist die mittlere Dauer des Turniers?

Das ist die mittlere Zeit bis zur Absorbtion.