5^x ableiten bzw. kürzen

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array} { c } { = \ln ( 5 ) \mathrm { e } ^ { \ln ( 5 ) x } } \\ { \text { Umschreiben bzw. vereinfachen: } } \\ { = \ln ( 5 ) \cdot 5 ^ { x } } \end{array} $$

Problem/Ansatz:

Wie kürzt sich das e^x da raus?

Danke

Answer 1

es gilt: \(e^{\ln(x)}=\ln(e^x)=x \;\;\;\; (x \in \mathbb{R}^+)\).

Außerdem können wir den Term zu \(e^{\ln(5)x}=(e^{ln(5)})^x\) umschreiben (\(a^{bc}=(a^b)^c\)).

Dann gilt nämlich: \(a^{\log_a(b)}=b\)

Somit \(e^{\ln(5)}=5^x\).

Answer 2

e^(ln) hebt sich auf.

Die ln- Funktion ist die Umkehrfunktion der e- Funktion.