Wenn du zu einem Vektor v die Koordinaten bzgl S hast,
und die sind a und b dann bedeutet das ja
a*s1 + b*s2 = v
Wenn du bzgl T die Koordinaten haben willst, dann suchst du
c und d so dass gilt
c*t1 + d*t2 = v also hast du
a*s1 + b*s2 = c*t1 + d*t2
und bei deinen Werten für s1,s2,t1,t2 also
$$a*\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=c*\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix}$$
bzw. in Matrixschreibweise
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}$$
Und wenn ab bekannt sind und cd gesucht, brauchst du das nur
umzustellen, also von links mit der Inversen der rechten
Matrix zu multiplizieren
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{-1}*\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}$$
Da der zweite Faktor die Einheitsmatrix ist, kann er weggelassen werden
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{-1}*\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}$$
Also ist die gesuchte Matrix
$$\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
denn die ist zu sich selbst invers.
Bei diesen einfachen Zahlen wäre es sicherlich auch einfacher gegangen unmittelbar
durch Auflösen des Gleichungssystems
$$a*\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}=c*\begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix}+b*\begin{pmatrix} -1\\0 \end{pmatrix}$$
nach c und d.
Ich dachte allerdings, dass du gerne auch für andere Fälle gerüstet sein wolltest.
