h-Methode funktioniert nicht beim Differenzquotienten

Question

Aufgabe:

$$ f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin \left( \frac { \pi x } { 2 } \right) + \pi , } & { 0 \leq x \leq 2 } \\ { \frac { \pi } { 4 } ( x - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 3 \pi } { 4 } , } & { 2 < x \leq 4 } \\ { \frac { \pi } { 2 } x - \pi , } & { 4 < x \leq 8 } \end{array} \right. $$

Problem/Ansatz:

Ich hab hier versucht mit der h-Methode den Differenzquotienten für lim x->2 zu bestimmen. Doch bei dem Term mit sin steht dann (Pi/ 2 * (Pi+h)) drin. Damit kann ich aber nicht weiter rechnen weil L´Hospital dann nicht mehr möglich ist. Muss man das hier also mit x-xo Methode rechnen und wieso ? Funktioniert die h-Methode nicht immer?

Answer 1

ich erhalte sowohl für die \(x\to x_0\)-Methode, als auch für die h-Methode den korrekten Wert:

\(\lim\limits_{h \to 0} \dfrac{(\sin\left(\frac{\pi\cdot (2+h)}{2}\right)+\pi)-(\sin(\frac{\pi\cdot 2}{2})+\pi)}{h}=-\dfrac{\pi}{2}\).

Du gehst nach \(\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\) vor.

In der h-methode lässt du h gegen null laufen und nicht x gegen zwei. Das würdest du bei ersterer Methode tun.

Comments

Aber ist sin ( pi * (2+h) /2 ) nicht null? Dann steht doch dort + PI - Pi oben was 0 / 0 wäre. Dann müsste man vorher l´Hospital machen oder?

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 Also ich hab jetzt L´Hospital angewendet und dann steht oben :

cos ( (2Pi + Pi*h )/ 2) * Pi / 2  

Das durch 1 unten und dann komm ich auch drauf.

Ist das so richtig ?

LG und danke

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Also im Nenner die 1 erhalte ich auch.

Für den Zähler erhalte ich \(\dfrac{1}{2}\pi\cos\left(\dfrac{1}{2}\pi(h+2) \right)\).

Da hast du dich wahrscheinlich bei der Ableitung nach h vertan.