Vektorgeometrie im Raum: Gegeben sind die Geraden g und h

Question

g: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\3 \end{pmatrix} \) +r * \( \begin{pmatrix} 3\\0\\-1 \end{pmatrix} \) mit r∈ ℝ und

h: \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 3\\-3\\3 \end{pmatrix} \) + s* \( \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix} \) mit s ∈ ℝ

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h an und zeigen Sie ,dass g und h senkrecht zueinander verlaufen.

Die Ebene E enthält die Geraden g und h

Prüfen Sie ob der Punkt P(7/-3/5) in E liegt.

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Ich habe gerade die 2 te Teilaufgabe und habe die Gleichung

0=0r+0s stehen.

Wie soll ich da weiterrechnen. Also liegt der Punkt nicht auf der Ebene E?

Answer 1

Teil 1)

Eine Gerade kann maximal einen Schnittpunkt besitzten oder die Geraden sind identisch, dann gibt es unendlich viele Schnittpunkte. Der Stützvektor ist bei beiden Geraden identisch. Also in dem Punkt schneiden sie sich bestimmt. Die Richtungsvektoren sind aber nicht paralle, also ist der einzige Schnittüunkt der Stützvektor.

Teil 2)

Die Gleichung sieht folgendermaßen aus

$$ \begin{pmatrix} 3\\-3\\3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3\\0\\-1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\3 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 7\\-3\\5 \end{pmatrix}   $$ mit den Lösungen

$$ r = \frac{5}{4} \text{ und } s = \frac{1}{4} $$

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Bei Teil 2 habe ich auch das selbe

Aber wie soll man bei der Teil1 vorgehen mit Rechnung am besten ich muss das nämlich morgen der Klasse vorstellen deshalb frage ich wie ich eine gute Notation hinbekomme

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Also orthogonal sind die schonmal ,aber kann mir jemand bitte die Koordinaten des Schnittpunkts von g und h angeben  ?

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Der Stuetzvektor ist der Schnittpunkt.

Answer 2

Hallo

du hast doch eigentlich 3 Gleichungen, diese sagt ja es ist nichts falsch, wenn die 2 anderen zu ner Lösung führen liegt der Punkt in der Ebene.

Gruß lul

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Okay ich habe r und s rausbekommen. Wo soll ich die jetzt einsetzen um sagen zu können ob der Punkt auf der Ebene E liegt ?

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Hallo

 wenn es ein r und s gibt, liegt der Punkt in der Ebene! alle Punkte mit irgendwelchen r und s liegen doch un der ebene, genau das sagt die Ebenengleichung.

Gruß lul