wie bestimmt man für die Gruppe G = Z^∗_10 die Ordnung für G?

Question

Aufgabe: Betrachten Sie die Gruppe G=Z^∗₁₀. Bestimmen Sie die Ordnung von G.

Problem/Ansatz: Laut Musterlösung muss hierfür für die Ordnung 4 herauskommen.

Answer 1

In ℤ₁₀ gilt
  (1)  0 = 2·5 = 4·5 = 6·5 = 8·5
  (2)  1 = 1·1 = 3·7 = 9·9.
Letztere sind die invertierbaren Elemente. Daher ist ℤ*₁₀ = {1,3,7,9}. Die Ordnung ist die Anzahl der Gruppenelemente, hier also 4.

Comments

Danke, du hast du mir schonmal auf die Sprünge geholfen.

Verstehe ich das also richtig. das man für die Elemente von 0-9 diese so miteinander multipliziert, das man entweder modulo 1 oder modulo 0 erhält? und bei modulo 0 werde die entsprechenden werte nicht zur ordnung hinzugezählt?

wenn ich es falsch beschrieben habe, korrigiere mich gerne :)

danke dir

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Es gibt auch noch andere Methoden. Z.B. ist das Element a ∈ ℤ₁₀ genau dann invertierbar, wenn ggT(a,10) = 1 ist. Die 0 ist niemals invertierbar.