Konvergenz von Reihen: Majorantenkriterium

Question

Wie kann man beweisen, dass diese Folge konvergiert:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{5 n^{2}}{n^{4}+1} \)

Ich weiß, dass es mit dem Majorantenkriterium funktionieren soll, aber ich bin mir nie sicher wie ich den Bruch abschätzen kann.

Answer 1

eine Majorante für den Term

\( \frac{5n^2}{n^4 + 1} \)

kann wie folgt ermittelt werden:

\( \frac{5n^2}{n^4 + 1} < \frac{5n^2}{n^4} = 5 \frac{1}{n^2} \).

Da die Ungleichung für jedes Glied der Folge gilt, gilt sie auch für die Summe aller Glieder. Das Problem reduziert sich mit anderen Worten auf die Konvergenz der Reihe

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \).

Diese ist nun entweder gegeben (z.B. Vorlesungsskript) oder muss bewiesen werden.

MfG

Mister

Comments

Also die Konvergenz der Reihe 1/n^2 (Majorante) hab ich nun wie folgt mittels Majorantenkriterium bewiesen:

Für \( n \geq 2 \) gilt \( \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{1}{n(n-1)} \)
\( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=1 \)
\( \frac{1}{4} \leq 1 \)

da die Majorante konvergent ist ist die ganze Reihe konvergent - ist das so richtig?

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Ja, scheint mir so richtig zu sein. Die Idee \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1 \) sollte dafür allerdings auch stimmen.

Zu beachten ist, dass \( 1 \) nicht die Majorante der Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \), sondern der Reihe \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) ist. Für die Majorante ersterer Reihe muss dann noch umgestellt werden:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \leq 1 + 1 = 2 \).