Funktionsterme anhand von Nullstellen bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie einen Funktionsterm der ganzrationalen Funktion f

f ist eine Funktion 3. Grades mit den drei Nullstellen x₁= -3, x₂= 1, x₃= 2 Der Graph von f verläuft durch den Punkt P (0I4)

Begründen Sie, dass durch die drei Nullstellen einfache Nullstellen sind.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider gar nicht, wie ich hier vorgehen muss. Und woran erkenne ich um welche Art der Nullstelle es sich handelt?

LG

Comments

Also hier muss du die Nullstellen einfach nur in Linearfaktoren zerlegen also z.B du hast die NUllstelle x = 2 und draus machst du (x-2) weil wenn du hier 2 einsetzt es null wird (weil es ja eine NUllstelle ist)

Deshalb du hast ja die Nullstellen : x1 = -3 v x2= 1 v x3= 2

Daraus folgt -> (x+3) (x-1) (x-2) = y / soweit so gut, aber du sollst ja noch den Punkt (0/4) einfügen, sprich das ist der y-Achsenabschnitt, den kann man immer berechnen anhand der Nullstellen, wenn du alle Zahlen in der Klammer multipliziert bekommt = 3 * (-1) * (-2) = 6 raus das wäre jetzt der schnittpunkt mit der y-Achse nur mit diesen Nullstellen die ich da oben in eine Funktion habe.

Aber du willst den y-Achsenabschnitt also:

du musst aus der 6 eine 4 machen, das machst du indem du noch ein Streckfaktor hinzufügst also:

2/3  * (x+3) * (x-1) *(x-2) = y

Wenn du jetz alle Zahlen muliplizierst erhältst du: 2/3 * 3 *(-1) *(-2) = 4 :-)

Answer 1

Also hier muss du die Nullstellen einfach nur in Linearfaktoren zerlegen also z.B du hast die NUllstelle x = 2 und draus machst du (x-2) weil wenn du hier 2 einsetzt es null wird (weil es ja eine NUllstelle ist)

Deshalb du hast ja die Nullstellen : x1 = -3 v x2= 1 v x3= 2

Daraus folgt -> (x+3) (x-1) (x-2) = y / soweit so gut, aber du sollst ja noch den Punkt (0/4) einfügen, sprich das ist der y-Achsenabschnitt, den kann man immer berechnen anhand der Nullstellen, wenn du alle Zahlen in der Klammer multipliziert bekommt = 3 * (-1) * (-2) = 6 raus das wäre jetzt der schnittpunkt mit der y-Achse nur mit diesen Nullstellen die ich da oben in eine Funktion habe.

Aber du willst den y-Achsenabschnitt also:

du musst aus der 6 eine 4 machen, das machst du indem du noch ein Streckfaktor hinzufügst also:

2/3  * (x+3) * (x-1) *(x-2) = y

Wenn du jetz alle Zahlen muliplizierst erhältst du: 2/3 * 3 *(-1) *(-2) = 4 :-)

Comments

Wenn der Punkt (0I4) der y-Achsenabschnitt ist, muss dann am Ende des Funktionsterm nicht noch +4 stehen?

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ne, weil der sich um lineare Faktoren handelt

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Das verstehe ich noch nicht so ganz....

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Du musst so überlegen wenn du die Klammern wieder auslöst, dann möchtest du eine normale Funktion bekommen und dort steht dann diese 4 wenn aber jetzt schon +4 hier rechnest dann bekommst du keine +4 am Ende raus. Es ist ja theoretischn ur ausgeklammern:

Mutlipliziert das mal aus was in der Klmmer steht du wirst sehen das dann am ende eine 4 steht nicht bei der Klammer schon das ich wichtig!!

Answer 2

Bestimmen Sie einen Funktionsterm der ganzrationalen Funktion f

f ist eine Funktion 3. Grades mit den drei Nullstellen x1= -3, x2= 1, x3= 2 Der Graph von f verläuft durch den Punkt P (0I4)

f(x) = a * (x + 3) * (x - 1) * (x - 2)

f(0) = a * (0 + 3) * (0 - 1) * (0 - 2) = 4 --> a = 2/3

f(x) = 2/3 * (x + 3) * (x - 1) * (x - 2)

Eine Ganzrationale Funktion n. Grades kann maximal n Nullstellen haben. Wenn es genau n verschiedene Nullstellen gibt, müssen das alle einfache Nullstellen sein, weil z.b. doppelte Nullstellen wie 2 Nullstellen zählen.