Question

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt

\( \sum\limits_{k=1}^{n}{k^3} \)  =  \( \frac{1}{4} \)n²(n+1)² 

Comments

Nicht direkt ein Dublikat, aber hier https://www.mathelounge.de/39019/kubikzahlen-beweis-1-bis-n-k-3-1-4n-2-n-1-2 gibt es das schon

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Cool! Hatte auch nur Probleme mit dem Übergang, jetzt weiss ich's - Dankeschön!^^

Answer 1

Beim Übergang von n auf n+1 muss auf beiden Seiten der Induktionshehauptung (n+1)³ addiert werden. Zusätzlich muss n durch n+1ersetzt werden.Dann bleibt auf der rechten Seite zu zeigen:

n²/4·(n+1)²+(n+1)³=(nach ausklammern) 1/4·(n+1)²·(n²+4n+4)=1/4·(n+1)²·(n+2)².