Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt:Summe k2k^k-1= (n-1)2^n +1

Question

Guten Tag liebe Mathefreunde,

ich habe ein Problem bei der vollständigen Induktion.

Die Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ gilt:

∑(k=1 bis n)k2^k-1 = (n-1)2ⁿ + 1 

Frage: Also ich habe die Induktion noch nie für Summen mit Variablen in den Potenzen gelöst. Nur so simple Induktionen, wie Summen von geraden oder ungeraden Zahlen und da hat man auf der rechten Seite alle n mit (n+1) ersetzt und auf der linken Seite mit (n+1) erweitert. Also zum Beispiel: n(n+1)/n und das dann mit (n+1) erweitert, sodass dann dort stand:

n(n+1)/2 + n + 1.

Das wurde dann umgeformt, bis die rechte Seite herauskommt. Also bis: (n+1)(n+2)/2 rauskommt. Ich habe aber gar keine Ahnung, wie ich das bei dieser Aufgabe mache. Ich konnte bisher nirgendwo was vernünftiges dazu finden. Es würde mir sogar schon reichen, wenn ihr eine Seite mit Probeaufgaben habt, dann kann ich mich da selber durcharbeiten. Bzw. gucken, wie man in solchen Fällen vorgehen sollte. Ich bin echt am verzweifeln.

Answer 1

Hallo,

kein Grund zu verzweifeln. Alles läuft standardmäßig ab. Induktionsanfang ist geschenkt. Wenn also jetzt (Induktionsvoraussetzung) für eine natürliche Zahl gilt:

$$\sum_{k=1}^n k 2^{k-1}=(n-1)2^n+1$$

Dann folgt:

$$\sum_{k=1}^{n+1} k 2^{k-1}=\sum_{k=1}^{n} k 2^{k-1}+(n+1)2^{n+1-1}=(n-1)2^n+1+(n+1)2^{n}$$

Dabei ist die Summe aufgrund der Induktionsvoraussetzung ersetzt worden. Jetzt fassen wir die Terme mit \(2^n\) zusammen:

$$=(n-1+n+1)2^n+1=2 \cdot n \cdot 2^n+1= n2^{n+1}+1=(n+1-1)2^{n+1}+1$$

Gruß

Comments

Okay ich danke dir MAthePeter das hat mir wirklich weitergeholfen, wie hast du das eigentlich gemacht, dass du das Intervall bei dem Summenzeichen (k01) und (n+1) drüber und drunter geschrieben hast? Das wäre nützlich zu wissen, falls ich mal wieder Fragen dazu habe

---

Benutze einfach Latex. Die Latex-Hilfe-Seite (rechte Spalte) zeigt Dir, wie es geht.