Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet der Antrag eine Mehrheit? (binomialv.)

Question

Aufgabe:

Der fünfköpfige Vorstand eines Vereins muß kurzfristig über einen Antrag eines Vereinsmitglieds abstimmen. Wenn die Vorstandsmitglieder völlig indifferent und  unentschlossen sind (Zustimmungswahrscheinlichkeit p=0.5), mit  welcher Wahrscheinlichkeit findet der Antrag eine Mehrheit?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Berechne P(X>=3) mit n=5, p=0,5, k= 3 oder 4 oder 5

P(X=3)= (5über3)*0,5^3*0,5^2

P(X=4)=

P(X=5)=

Addiere die WKTen!

Answer 2

da die Mitglieder des Vorstands unabhängig voneinander entscheiden, bietet sich hier die Binomialverteilung an.

Für eine Mehrheit bei 5 Leuten müssen mindestens \(\left \lceil \dfrac{5}{2} \right \rceil = 3\) Leute dafür stimmen.

Also berechnest du die Einzelwahrscheinlichkeiten, dass 3 oder 4 oder 5 dafür stimmen.

Sprich \(P(X\geq 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)\) (über die GegenWSK zu rechnen bietet sich hier nicht an, da du genau so viele Werte berechnen müsstest [höchstens für die kumulierte Binom.Vert.])

Du könntest es, wenn du mit Taschenrechner rechnen darfst, als Summe schreiben:

\(\displaystyle\sum\limits_{i=3}^5 \displaystyle\binom{5}{i}\cdot 0.5^i\cdot 0.5^{5-i}\), dann rechnet er dir direkt die aufsummierte WSK aus. Wie du es aber rechnest, ist dir überlassen.