Stetigkeit überprufen an der Stelle Xo

Question

Sei f:R-->R mit f(x) = |x| + \( \frac{2}{1 + |x|} \)

1. Zeigen sie die Stetigkeit an der Stelle Xo mit dem epsilon-delta Kriterium.

2. Geben Sie einen Definitionsbereich D ⊆ R an, auf dem f gleichmäßig stetig ist.

3.Prüfen Sie, ob die Funktion Lipschitz-stetig ist und geben Sie gegebenenfalls eine

sinnvolle Lipschitzkonstante an.

kann jemand mir helfen?

danke im Voraus

Comments

**  |x| + \( \frac{2}{1+|x|} \)

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Hallo

 helfen gern, wenn du erstmal anfängst und sagst, wo du scheiterst, wenn dich der Betrag stört beweis es für x0>=0 und dann ist die Funktion sym zu x=0 und deshalb auch für neg. x0 stetig.

Gruß lul

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Ich habe bisher gerechnet. Wie gehe ich vor mit dem epsilon-delta kriterium?

Answer 1

Mache am besten eine Fallunterscheidung, erst Mal für xo > 0

(Dann ist in einer Umgebung von xo auch x > 0 und du kannst die

Betragsstriche weglassen und hast

| f(x) - f(xo) | =  | (x-xo) + ( 2*(xo-x) / ( (1+xo)*(1+x) ) |

         =  | (x-xo) * ( 1  - ( 2 / ( (1+xo)*(1+x) ) |

         =  | (x-xo) |  * | ( 1  - ( 2 / ( (1+xo)*(1+x) ) |   #

Da x und xo positiv sind, ist der Nenner von

2 / ( (1+xo)*(1+x) )

größer als 1, also der Bruch kleiner 2

und damit   | ( 1  - ( 2 / ( (1+xo)*(1+x) ) |  < 2

also kannst du  # abschätzen durch     | f(x) - f(xo) | <    | (x-xo) | * 2 

und für Delta < eps/2 gilt dann     | (x-xo) |  < Delta

==>  | f(x) - f(xo) | = <    | (x-xo) | * 2  < 2*Delta = 2* eps/2 = eps