Antwort mit KI erzeugt
Teil a): 16 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen, die nicht prim sind
Um eine Sequenz von 16 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen zu finden, die nicht prim sind, können wir von einer Zahl ausgehen, die durch das Produkt mehrerer kleinerer Zahlen definiert ist, sodass jede Zahl in der Sequenz mindestens einen Faktor ungleich 1 oder sich selbst hat.
Ein effektiver Weg, dies zu erreichen, ist die Verwendung von Fakultäten. Die Fakultät einer Zahl \(n\), notiert als \(n!\), ist das Produkt aller positiven ganzen Zahlen bis zu \(n\). Jede Zahl \(n!\) ist durch jede Zahl von 1 bis \(n\) teilbar. Wenn wir also \(17!\) nehmen, wissen wir, dass jede der Zahlen \(17! + 2, 17! + 3, ..., 17! + 17\) durch mindestens eine der Zahlen zwischen 2 und 17 (einschließlich) teilbar ist, da \(17! + k\) mod \(k = 0\) für \(k = 2, 3, ..., 17\).
Da wir jedoch Zahlen kleiner als \(10^6\) erwarten, ist dieses Vorgehen nicht direkt anwendbar, denn \(17!\) ist weit größer als \(10^6\).
Ein pragmatischer Ansatz ist die Betrachtung kleinerer Zahlen. Wenn wir bei einer Basiszahl beginnen und nacheinander 16 Zahlen generieren, wobei jede Zahl durch unterschiedliche Zahlen teilbar ist, können wir eine Sequenz erstellen.
Betrachten wir \(N = 17\), dann ist \(N(N-1)\) ein Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen, und somit sicherlich nicht prim. Wir können \(N(N-1) + 1, N(N-1) + 2, ..., N(N-1) + 15\) betrachten. Jede dieser Zahlen hat mindestens einen trivialen Teiler.
Ein einfaches Beispiel mit kleineren Zahlen ist die Sequenz beginnend mit \(17\cdot16\), was \(272\) ergibt. Die Zahlen von \(272\) bis \(272 + 15\) sind:
\(272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287\)
Jede dieser Zahlen ist nicht prim: \(272\) ist durch \(2\), \(273 = 3 \cdot 91\), \(274=2\cdot137\) und so weiter. Allerdings ist diese spezifische Sequenz zu simpel und erfüllt nicht die Anforderung, dass alle Zahlen kleiner als \(10^6\) sein sollen, da dies lediglich als generisches Beispiel dient.
Eine bessere Wahl ist die Verwendung der Sequenz, die bei 210 beginnt. \(210\) ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von 2, 3, 5, und 7, was bedeutet, dass \(210+1\) bis \(210+15\) alle nicht prim sind, da
- \(210+1 = 211\) (kann prim sein),
- \(210+2 = 212\) (durch 2 teilbar),
- \(210+3 = 213\) (durch 3 teilbar),
und so weiter bis
- \(210+15 = 225\) (durch 5 teilbar).
Ein präziser Ansatz für die geforderten Zahlen kleiner \(10^6\), der die Anforderungen direkt erfüllt, ist jedoch die direkte Konstruktion wie oben beschrieben. Ein genaueres Vorgehen wäre, \(k\) so zu wählen, dass \(k+1, k+2, ..., k+16\) allesamt durch kleine Primzahlen teilbar sind, jedoch ist die obige Methode mit \(210\) ein gutes Beispiel für einen pragmatischen Ansatz.
Teil b): Beweis der Identität für Binomialkoeffizienten
Die zu beweisende Identität lautet:
\(
\binom{n}{k} = \frac{n}{k} \cdot \binom{n-1}{k-1}
\)
Beweis:
Beginnen wir mit der Definition des Binomialkoeffizienten:
\(
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\)
Umformen der rechten Seite der Identität:
\(
\frac{n}{k} \cdot \binom{n-1}{k-1} = \frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}
\)
Das \(n-k\) im Nenner bleibt gleich, da \((n-1) - (k-1) = n-k\).
Vereinfachung ergibt:
\(
\frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k)!} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}
\)
Dies ist äquivalent zur Definition des Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\), womit die Identität bewiesen ist.
