Restbestimmung Kongruenzaufgaben: 10^{1337} modulo 9

Question

Berechnen Sie die Reste folgender Kongruenzaufgaben.

10¹³³⁷ modulo 9

Bei meinen Berechnungen kommt immer dass die 1. Zahl unendlich ist und nicht berechnet werden kann.

Comments

Diese Maschine kommt hier auf das Resultat 1.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=10%5E1337+modulo+9

Betrachte im Link noch die "alternate forms". Eine Idee für eine Rechnung vielleicht sonst auch bei den "ähnlichen Fragen" unten stehlen.

Answer 1

10 ≡1 modulo 9

10¹³³⁷ ≡1¹³³⁷ modulo 9

10¹³³⁷ ≡1 modulo 9

Answer 2

Hier kann man es im Kopf, denn

1 mod 9 =1

10 mod 9 =1

100 mod 9 =1

10^x mod 9 = 1

Für Interessierte:

Es gibt einen universellen Pow-Mod-Algorithmus, der ohne große Zwischenergebnisse auskommt.

Kein Wissen über  Spezialfälle wie hier nötig. Der Iterationsrechner rechnet es in 11 Schritten online vor:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm##@N@B0]=a=10;b=1337;c=9;@C0]=1;d=0;//b=(a%20hoch%20b)%20mod%20c@Nif((b%252)==1){@Cd+1]=(@Cd]*@Bi])%25c;d+=1;};@Bi+1]=@P@Bi],2)%25c;b=floor(b/2);@Nb%3C1@N0@N1@Nb=@Cd+1]=@Cd]%25c;

In b steht dann das Ergebnis.

Answer 3

10^1337 mod 9 = (10 mod 9)^1337 mod 9 = 1^1337 mod 9 = 1 mod 9 = 1

Anderes Beispiel

8^1337 mod 9 = (8 mod 9)^1337 mod 9 = (-1)^1337 mod 9 = -1 mod 9 = 8

Answer 4

Zahlen, die durch 9 teilbar sind, haben eine Quersumme, die durch 9 teilbar ist.

Daher sind 9, 99, 999, 99999, 9999999......9 durch 9 teilbar.

10^1337 ist eine 1 mit lauter Nullen. Sie ist eins grösser als eine Zahl, die nur auf Neunen besteht.

Daher ist 10^1337 modulo 9 = 1.

Answer 5

Bei meinen Berechnungen kommt immer dass die 1. Zahl unendlich ist und nicht berechnet werden kann.

Die "1. Zahl", also die Zahl 10^{1337}, ist eine Zahl mit 1338 Stellen. Das sprengt natürlich die Darstellungsmöglichkeiten der meisten Taschenrechner und dies ist sicher vom Aufgabensteller so beabsichtigt.

Du könntest ja mal ein paar Versuche mit weniger großen Hochzahlen starten.