Einführung der reellen Zahlen

Question

Die Zahlenfolge (a_n)_n∈Ν mit a₁=2, a_n+1= \( \frac{1}{2} \)a_n + \( \frac{1}{an} \) ist beschränkt und monoton fallend.

Kann mir jemand das erklären?

Ich setze a₁=2 für a_n ein, dann wären die Glieder meiner Zahlenfolgen: a_n= (\( \frac{3}{2} \), \( \frac{11}{6} \), \( \frac{9}{4} \),...) also keineswegs monoton fallend bzw. nach unten beschränkt.

Wie gehe ich vor?

Es soll damit erklärt werden, das es noch Lücken auf der Zahlengeraden gibt und so die Einführung der reellen Zahlen eingeleitet werden.

   

Comments

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Answer 1

Die Folge lautet 2, 3/2, 17/12, 577/408, ... Ihr Grenzwert ist √2.

Das ist ein Spezialfall des Heron-Verfahrens. Dieses nähert irrationale Quadratwurzeln (hier √2) beliebig nahe durch rationale Zahlen an, aber endet nicht. Das heißt, zwischen den rationalen Zahlen gibt es weitere (nicht rationale) Zahlen.

Comments

Vielen Dank!

Aber wie komme ich auf die Glieder der Zahlenfolge? Meine sind ja dementsprechend falsch, was muss ich also rechnen?

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Das erste Glied ist 2. Setze dies in a_n/2+1/a_n ein. Dann erhältst du a₂=2/2+1/2=3/2.

Setze 3/2 in a_n/2+1/a_n ein. Dann erhältst du a₃=3/4+2/3=17/12.

Setze 17/12 in an/2+1/an ein. Dann erhältst du a₄=17/24+12/17=577/408.