Häufungspunkt reeller Zahlen beweisen

Question

Aufgabe: Zeigen Sie, dass jede Folge reeller Zahlen einen Häufungspunkt besitzt.

Ich habe keinen blassen Schimmer, wie ich das anstellen soll. Bin echt auf Hilfe angewiesen.

Comments

Gelten + und  - unendlich auch als Häufungspunkte ?

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Eine Folge hat einen uneigentlichen Häufungspunkt, wenn sie eine Teilfolge bestitzt, die gegen + oder minus unendlich divergiert.

Answer 1

Ich denke die Aufgabe soll heissen:

...jede BESCHRÄNKTE Folge...

denn die Folge 1,2,3,4,... hat z.B. keinen Häufungspunkt.

Dann ist das der Satz von Bolzano Weierstrass. Man nimmt ein Intervall in dem unendlich viele Folgenglieder enthalten sind und teilt dies genau in der Hälfte. Nun kann man Zeigen das in einem der beiden neuen Intervalle wieder unendlich viele Glieder enthalten sein müssen. Siehe Wikipedia.