Von Koordinatengleichung zur Parametergleichung

Question

Aufgabe:

E: 2x1 + x2 + x3 = 4 in Parametergleichung

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt einmal das Spurpunkt Verfahren und einmal das mit nach x3 auflösen verwendet. Ich soll jetzt aber noch eine dritte Methode zeigen. Kann mir bitte jemand die dritte Methode mit Rechnung erklären?

Answer 1

Aus E: 2x1 + x2 + x3 = 4

ergibt sich

2
1
1

ist ein Normalenvektor und (0;0;4) ein Punkt der

Ebene. Damit sind

-1
1
1

und

0
1
-1

zwei lin. unabh. Richtungsvektoren und die Gleichung ist

      0                -1                 0
x = 0      +   r *  1      +   s*   1
      4                 1                -1

eine Parametergleichung.

Comments

Wie bist du auf die Richtungsvektoren (-1 ; 1 ; 1) und (0; 1; -1) gekommen.?

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ah das ist doch das mit dem Skalarprodukt und „ausprobieren“, oder?

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Genau so ist es.

Answer 2

Die Punkte A(1|2|0), B(0|2|2) und C(-1|2|4) erfüllen die gegebene Koordinatengleichung. Aus ihnen lässt sich die Parametergleichung \( \vec{x} \) =\( \vec{OA} \) +r·\( \vec{AB} \) +s·\( \vec{AC} \) herstellen.

Comments

Als Ortsvektor hätte ich jetzt (1|2|0) und als Richtungsvektoren (-1|0|2) und (-2|0|4). War es nicht so, dass die Richtungsvektoren kein vielfaches voneinander sein dürfen?

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Ja, so ist es. Es genügt auch nicht, drei beliebige Punkte aus der Ebene zu wählen, vielmehr müssen die drei Punkte auch noch ein Dreieck bilden, dürfen also insbesondere nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

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Tut mir leid, meine Punkte liegen auf einer Geraden. A musst du z.B. C durch einen geeigneten Punkt ersetzen.

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Wie erkenne ich denn, dass die drei Punkte ein Dreieck bilden?

Ich hätte jetzt (-1|5|-3) und (-2|0|4) als Richtungsvektoren (B(0|7|-3) genommen. Ich habe dann aus A (1|2|0) und B(2|7|0) eine Gerade bildet und dann geschaut ob C(-1|2|4) in dieser Gerade liegt (liegt nicht drauf). Stimmt das so?

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Zunächst hattest du die ungeeigneten Richtungsvektoren (-1|0|2) und (-2|0|4). Ungeeignet sind sie, weil  2·(-1|0|2) = (-2|0|4).

Jetzt hast du die Richtungsvektoren (-1|5|-3) und (-2|0|4). Die sind geeignet, weil es kein k gibt, für das gilt:  k·(-2|0|4)=(-1|5|-3).

Aber dein Weg geht auch.

Answer 3

2·x + y + z = 4

Man kann leicht 3 Richtungsvektoren und einen Punks ablesen.

(2 | 0 | 0) ist ein Punkt der Ebene

Richtungsvektoren sind z.B. [0, 1, -1]; [1, 0, -2]; [1, -2, 0]. Dazu setzte ich eine Koordinate des Normalenvektors auf Null, vertausche die anderen Koordinaten und ändere auch noch eine Koordinate im Vorzeichen.

E: x = [2, 0, 0] + r[0, 1, -1] + s[1, 0, -2]

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2·x + y + z = 4

Ich kann direkt die 3 Spurpunkte ablesen.

(2 | 0 | 0); (0 | 4 | 0), (0 | 0 | 4)

Dann kann man die Gleichung durch 3 Punkten ablesen.

E: x = [2, 0, 0] + r[-2, 4, 0] + s[-2, 0, 4]