Von einem Rechteck liegen 2 Eckpunkte auf der x-Achse und die anderen beiden auf der Parabel p

Question

Aufgabe:

Von einem Rechteck liegen 2 Eckpunkte auf der x-Achse und die anderen beiden auf der Parabel p: f(x) = x/4*(8(√3) - x). Berechnen Sie die Länge, die Breite und die Fläche desjenigen Rechtecks, das die maximale Fläche hat.

Problem/Ansatz:

Ich habe es so gemacht: x * x/4*(8(√3) - x), aber ich bekomme als Lösung unendlich. Wieso?

Comments

Ich kann so die Funktion f nicht wirklich deuten. Ist das eine Parabel also eine Quadratische Funktion?

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Das ist die Funktion.

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google ma mit diesen Kriterien "extremwertaufgaben rechteck unter parabel"

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@Atorian

dann gilt meine Lösung die ich unten hingeschrieben habe.

Answer 1

Spiegelachse des Rechtecks: x=4·√3

Breite des Rechtecks: a

Höhe des Rechtecks: f(4·√3+a/2)=(192-a²)/16

Fläche des Rechtecks: F(a)=a·(192-a²)/16=(192a-a³)/16

positive Nullstelle x_E der 1.Ableitung: F'(x)=3/16(64-a²); x_E=8

F(8)=64

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Du bist einfach der beste! Du schaffst es mir immer alles zu erklären. Ja, jetzt habe ich es auch geschafft. Ich konnte sogar mein Problem mit dem Unendlich lösen, in dem ich die Funktion zwischen 0 und 14 eingegrenzt habe.

Answer 2

f(x) = 1/4·x·(8·√3 - x)

A = 2 * u * f(4·√3 + u) = 2 * u * 1/4·(4·√3 + u)·(8·√3 - (4·√3 + u)) = 24·u - 0.5·u^3

A' = 24 - 1.5·u^2 = 0 --> u = 4

f(4·√3 + 4) = 1/4·(4·√3 + 4)·(8·√3 - (4·√3 + 4)) = 8

A = 2 * 4 * 8 = 64

Comments

Wie bist du darauf gekommen?

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Andere Frage. Was verstehst du nicht? Kannst du eine Skizze der Parabel machen und dir überlegen wie das Rechteck liegen müsste?

Theoretisch wäre es dann sogar möglich die Parabel so zu verschieben das sie achsensymmetrisch liegt.

Dann ist das einfacher zu berechnen.

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Darf man das einfach?

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So sieht es aus

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Ja sicher. Die Fläche wird ja dieselbe sein eben nur verschoben.

Hier die original und die verschobene Parabel. Du wirst sehen das es keine Rolle spielt unter welche Parabel du das Rechteck zeichnest oder?

~plot~ 1/4*x*(8*sqrt(3)-x);12-0.25*x^2;[[-9|15|-5|13]] ~plot~

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Ich habe nachgeschaut, aber ich schaffe es trotzdem nicht. Wieso hast du bei der Höhe also bei der Funktion einen anderen Wert?

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Ich rechne immer: 2x * f(x) und das dann maximal.

woher kommt das f(4·√3 + u)

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Zeichne doch mal unter die blaue Parabel dein Rechteck. Was ist dann dein U. Nur der Abstand des Rechtecks von der y-Achse. Aber das hat dann überhaupt nichts mit der Breite des Rechtecks zu tun.

Die Fläche musst du aber über Breite mal Höhe berechnen.

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Wie soll ich es dann sonst machen? Ich bin irgendwie voll verwirrt.

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Mein U wäre dann: x2-x1.

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Den Scheitelpunkt bestimmen und dann die Parabel einfach nur nach links verschieben, dass der Scheitelpunkt auf der y.Achse liegt. Dann kannst du einfach mit dem u rechnen. Die Fläche ist dann

A = 2 * u * f(u)

Allerdings nur wenn die Parabel verschoben worden ist.

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Mein U wäre dann: x2 - x1.

Ok. Das geht auch. Und wie kommst du dann bei gegebenem u auf dein x1 und dein x2?

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ahh, stimmt. Durch die Verschiebung ändert sich auch die Funktion.

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Der Scheitelpunkt ist S(4Wurzel3/12)

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Genau. Und jetzt verschiebst du die Funktion das sie ihren Scheitelpunkt bei S(0|12) hat. Öffnungsfaktor kannst du so lassen. Dann hast du

g(x) = -1/4*x^2 + 12

Das ist auch die oben rot gezeichnete Parabel. Und damit ist das Rechteck dann auch kein Problem mehr.

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Leider funktioniert es immer noch nicht.

A(x) = 2x*(-1/4x^2+12) kann ich nicht maximieren. Ich bekomme - unendlich.

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Bitte hilf mir.

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Was muss ich jetzt tun??

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Kann mir niemand mehr helfen?

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A(x) = 2x*(-1/4x2+12) kann ich nicht maximieren. Ich bekomme - unendlich.

um für die rechte Ecke des Rechtecks mit A_max auf dem (verschobenen) Graph den x-Wert zu berechnen, musst du doch einfach nur A '(x) = 0 setzen:

A '(x) = 3/2 · (16 - x^2) = 0

   →  x = 4  ( oder x = -4 für die linke Ecke)   ....

2·4 ist die Breite , f(4) die Höhe und A(4) = 64 die Maßzahl von A_max

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A(x) = 2·x·(- 1/4·x^2 + 12) = 24·x - 0.5·x^3

A'(x) = 24 - 1.5·x^2 = 0 --> x = 4

2·4 = 8

g(4) = - 1/4·4^2 + 12 = 8

A(8) = 64

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Ihr wisst doch wohl, dass ich nicht weiss wie man Ableitet oder so. Ich muss das ganze mit Parabeln und Scheitelpunkten machen.

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Ihr wisst doch wohl, dass ich nicht weiss wie man Ableitet oder so.
Ich muss das ganze mit Parabeln und Scheitelpunkten machen.

Und wer hat dir dann diese Aufgabe untergejubelt?

Vielleicht meinte er so etwas:

Das gesuchte Rechteck (in der verschobenen Parabel) mit dem rechten oberen Eckpunkt (x|g(x)) hat die Seitenlängen  2x und g(x) , also  2x und  -1/4·x² + 12
Der maximal mögliche Flächeninhalt ergibt sich  hier zufällig (!), wenn das Rechteck ein Quadrat ist, also wenn die beiden Seitenlängen gleich sind:
2x = -1/4·x² + 12    | -2x    | • (-4)   |  Gleichung drehen 
 ⇔  x² + 8x - 48 = 0

pq-Formel  →    x₁ = 4  ;   [  x₂ = -12  entfällt ]

Breite = Länge = 2x = 8  ,   A_max = 8 · 8 = 64 

Das würde also keine Lösung "ohne Ableiten" darstellen, weil die einbeschriebenen Rechtecke keinen konstanten Umfang haben.

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Ich werde heute meinen Lehrer fragen und es dir dann erklären, was oder wie er es gelöst haben wollte.